Standardabweichung, erklärt
Die Standardabweichung misst Streuung: wie weit die Werte eines Datensatzes typischerweise von ihrem Mittelwert entfernt liegen. Zwei Datensätze können denselben Mittelwert haben und völlig verschieden aussehen, und diese Zahl unterscheidet sie.
Die fünf Schritte
- Bestimme den Mittelwert der Daten.
- Zieh den Mittelwert von jedem Wert ab, das gibt die Abweichungen.
- Quadriere jede Abweichung, das entfernt die Vorzeichen.
- Mittle die quadrierten Abweichungen. Das ist die Varianz.
- Zieh die Wurzel aus der Varianz, um zur ursprünglichen Einheit zurückzukommen.
Stichprobe oder Grundgesamtheit
Sind deine Daten die gesamte Gruppe, die dich interessiert, teile durch n. Sind sie eine Stichprobe, mit der du auf eine größere Gesamtheit schließt, teile durch n - 1. Durch n - 1 zu teilen macht die Schätzung etwas größer und korrigiert eine bekannte Verzerrung bei kleinen Stichproben. Die Aufgabe daraufhin zu lesen, was von beidem vorliegt, ist mehr Punkte wert als die Rechnung.
Was die Zahl aussagt
Eine Standardabweichung nahe null heißt, die Werte drängen sich eng um den Mittelwert. Eine große heißt, sie sind gestreut. Weil sie in derselben Einheit wie die Daten steht, ist eine Standardabweichung von 2 cm direkt mit den Messwerten vergleichbar, und deshalb wird sie beim Berichten der Varianz vorgezogen.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Bestimme die Standardabweichung der Grundgesamtheit von: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Antwort
2
Schritte
- 1Mittelwert: die Werte summieren sich zu 40, und 40 / 8 = 5.
- 2Abweichungen: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
- 3Quadrate: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, in Summe 32.
- 4Varianz der Grundgesamtheit: durch n = 8 teilen, das gibt 4.
- 5Standardabweichung: die Wurzel aus 4 ist 2.
Beispiel 2
Frage
Bestimme die Standardabweichung der Stichprobe von: 4, 8, 6, 5, 3
Antwort
Etwa 1,92
Schritte
- 1Mittelwert: die Werte summieren sich zu 26, und 26 / 5 = 5,2.
- 2Abweichungen: -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
- 3Quadrate: 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, in Summe 14,8.
- 4Stichprobenvarianz: durch n - 1 = 4 teilen, das gibt 3,7.
- 5Standardabweichung: die Wurzel aus 3,7 ist etwa 1,92.
Hier durch 5 statt durch 4 zu teilen ergäbe 1,72. Der Unterschied zählt am meisten bei kleinen Stichproben, und genau dann wird in Prüfungen gefragt.
Beispiel 3
Frage
Zwei Klassen haben beide den Durchschnitt 70. Klasse A hat eine Standardabweichung von 3, Klasse B von 15. Was sagt das aus?
Antwort
Klasse A ist einheitlich; Klasse B hat sowohl viel stärkere als auch viel schwächere Ergebnisse.
Schritte
- 1Der Mittelwert sagt nichts über die Streuung, gleiche Mittelwerte können also sehr verschiedene Verteilungen verbergen.
- 2Eine Standardabweichung von 3 heißt, die meisten in Klasse A lagen etwa zwischen 67 und 73.
- 3Eine Standardabweichung von 15 heißt, Klasse B reicht typischerweise von etwa 55 bis 85.
- 4Klasse B enthält also Lernende, die sehr unterschiedliche Unterstützung brauchen, trotz identischem Durchschnitt.
- 5Deshalb ist ein Mittelwert ohne Streuungsmaß irreführend.
Typische Fehler
Durch n teilen, obwohl die Daten als Stichprobe beschrieben sind.
Stichproben teilen durch n - 1. Achte auf die Wörter Stichprobe, Umfrage oder ausgewählt in der Aufgabe.
Die letzte Wurzel vergessen und die Varianz angeben.
Die Varianz steht in quadrierten Einheiten. Die Standardabweichung ist ihre Wurzel, in der ursprünglichen Einheit.
Die Abweichungen addieren, ohne sie zu quadrieren.
Sie summieren sich immer zu null, und genau deshalb kommt das Quadrieren zuerst.
Den Mittelwert früh runden und den Fehler durch jede Abweichung schleppen.
Halte den Mittelwert exakt bis zur Endantwort und runde einmal.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Bestimme die Standardabweichung der Grundgesamtheit von 10, 12, 14.
Antwort zeigen
Etwa 1,63. Der Mittelwert ist 12, die quadrierten Abweichungen summieren sich zu 8, und 8 / 3 = 2,67.
2. Bestimme die Standardabweichung derselben Daten als Stichprobe: 10, 12, 14.
Antwort zeigen
2. Die quadrierten Abweichungen summieren sich weiterhin zu 8, aber durch n - 1 = 2 zu teilen ergibt eine Varianz von 4.
3. Ein Datensatz hat die Varianz 49. Wie groß ist seine Standardabweichung?
Antwort zeigen
7. Zieh die Wurzel aus der Varianz.
Was oft gefragt wird
- Warum überhaupt die Abweichungen quadrieren?
- Weil sie sich sonst zu null summieren. Das Quadrieren entfernt die Vorzeichen und gewichtet größere Ausreißer zugleich stärker.
- Warum bei einer Stichprobe durch n - 1 teilen?
- Weil der eigene Mittelwert einer Stichprobe näher an ihren Daten liegt als der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit, was die Streuung unterschätzt. Durch n - 1 zu teilen korrigiert diese Verzerrung.
- Ist eine hohe Standardabweichung schlecht?
- Für sich genommen ist sie weder gut noch schlecht. Für eine Fertigungstoleranz ist sie schlecht, für Prüfungsergebnisse neutral, der Zusammenhang entscheidet.
- Wie hängt sie mit der Normalverteilung zusammen?
- Bei normalverteilten Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zweien.
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