Desvio padrão, explicado
O desvio padrão mede dispersão: o quanto os valores de um conjunto costumam ficar longe da média. Dois conjuntos podem ter a mesma média e não se parecerem em nada, e é esse número que os distingue.
Os cinco passos
- Ache a média dos dados.
- Subtraia a média de cada valor para obter os desvios.
- Eleve cada desvio ao quadrado, o que remove os sinais negativos.
- Faça a média dos desvios ao quadrado. Isso é a variância.
- Extraia a raiz quadrada da variância para voltar às unidades originais.
Amostra ou população
Se seus dados são o grupo inteiro que interessa, divida por n. Se são uma amostra usada para estimar uma população maior, divida por n - 1. Dividir por n - 1 deixa a estimativa um pouco maior, corrigindo um viés conhecido em amostras pequenas. Ler o enunciado para ver qual é o caso vale mais pontos do que a conta.
O que o número diz
Um desvio padrão perto de zero significa que os valores se agrupam bem perto da média. Um grande significa que estão espalhados. Como está nas mesmas unidades dos dados, um desvio padrão de 2 cm é diretamente comparável às próprias medidas, e por isso é preferido à variância nos relatórios.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Questão
Ache o desvio padrão populacional de: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Resposta
2
Passos
- 1Média: os valores somam 40, e 40 / 8 = 5.
- 2Desvios: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
- 3Quadrados: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, somando 32.
- 4Variância populacional: divida por n = 8, dando 4.
- 5Desvio padrão: a raiz quadrada de 4 é 2.
Exemplo 2
Questão
Ache o desvio padrão amostral de: 4, 8, 6, 5, 3
Resposta
Cerca de 1,92
Passos
- 1Média: os valores somam 26, e 26 / 5 = 5,2.
- 2Desvios: -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
- 3Quadrados: 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, somando 14,8.
- 4Variância amostral: divida por n - 1 = 4, dando 3,7.
- 5Desvio padrão: a raiz quadrada de 3,7 é cerca de 1,92.
Dividir aqui por 5 em vez de 4 daria 1,72. A diferença importa mais em amostras pequenas, que é exatamente quando as provas perguntam.
Exemplo 3
Questão
Duas turmas têm média 70. A turma A tem desvio padrão 3, a turma B tem 15. O que isso diz?
Resposta
A turma A é homogênea; a turma B tem resultados bem melhores e bem piores.
Passos
- 1A média não diz nada sobre dispersão, então médias iguais podem esconder distribuições muito diferentes.
- 2Um desvio padrão de 3 significa que quase toda a turma A tirou entre 67 e 73, grosso modo.
- 3Um desvio padrão de 15 significa que a turma B vai tipicamente de uns 55 a uns 85.
- 4Ou seja, a turma B tem alunos que precisam de apoios bem diferentes, apesar da média idêntica.
- 5É por isso que apresentar uma média sem uma medida de dispersão engana.
Erros comuns
Dividir por n quando os dados são descritos como amostra.
Amostras dividem por n - 1. Procure as palavras amostra, pesquisa ou selecionados no enunciado.
Esquecer a raiz quadrada final e informar a variância.
A variância está em unidades ao quadrado. O desvio padrão é a raiz dela, nas unidades originais.
Somar os desvios sem elevá-los ao quadrado.
Eles sempre somam zero, e é por isso que o quadrado vem primeiro.
Arredondar a média cedo e carregar o erro por todos os desvios.
Mantenha a média exata até a resposta final e arredonde uma vez só.
Pratique
Resolva primeiro, depois abra a resposta. Travou no meio? Selecione o problema e peça ao Solvecoon o passo que está faltando.
1. Ache o desvio padrão populacional de 10, 12, 14.
Ver a resposta
Cerca de 1,63. A média é 12, os desvios ao quadrado somam 8, e 8 / 3 = 2,67.
2. Ache o desvio padrão amostral dos mesmos dados: 10, 12, 14.
Ver a resposta
2. Os desvios ao quadrado ainda somam 8, mas dividir por n - 1 = 2 dá variância 4.
3. Um conjunto de dados tem variância 49. Qual é o desvio padrão?
Ver a resposta
7. Extraia a raiz quadrada da variância.
O que as pessoas perguntam
- Por que elevar os desvios ao quadrado?
- Porque senão eles somam zero. O quadrado remove os sinais e ainda dá mais peso aos afastamentos grandes.
- Por que dividir por n - 1 numa amostra?
- Porque a média da própria amostra fica mais perto dos dados dela do que a verdadeira média populacional, o que subestima a dispersão. Dividir por n - 1 corrige esse viés.
- Desvio padrão alto é ruim?
- Sozinho, não é bom nem ruim. É ruim para tolerância de fabricação e neutro para notas de prova, então o contexto decide.
- Qual a relação com a distribuição normal?
- Em dados normalmente distribuídos, cerca de 68% dos valores ficam a um desvio padrão da média e cerca de 95% a dois.
Está com um na sua frente?
Selecione o problema na página ou capture com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve junto com você.
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