La desviación típica, explicada
La desviación típica mide la dispersión: a qué distancia de la media suelen situarse los valores de un conjunto de datos. Dos conjuntos pueden compartir la media y no parecerse en nada, y este es el número que los distingue.
Los cinco pasos
- Halla la media de los datos.
- Resta la media a cada valor para obtener las desviaciones.
- Eleva al cuadrado cada desviación, lo que elimina los signos negativos.
- Promedia las desviaciones al cuadrado. Eso es la varianza.
- Toma la raíz cuadrada de la varianza para volver a las unidades originales.
Muestra o población
Si tus datos son el grupo entero que te interesa, divide entre n. Si son una muestra con la que estimas una población más amplia, divide entre n - 1. Dividir entre n - 1 hace la estimación algo mayor, lo que corrige un sesgo conocido en muestras pequeñas. Leer el enunciado para ver cuál de los dos casos tienes vale más puntos que la aritmética.
Qué te dice el número
Una desviación típica cercana a cero significa que los valores se agrupan muy cerca de la media. Una grande significa que están dispersos. Como está en las mismas unidades que los datos, una desviación típica de 2 cm es directamente comparable con las propias medidas, y por eso se prefiere a la varianza al informar.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Pregunta
Halla la desviación típica poblacional de: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Respuesta
2
Pasos
- 1Media: los valores suman 40, y 40 / 8 = 5.
- 2Desviaciones: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
- 3Cuadrados: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, que suman 32.
- 4Varianza poblacional: divide entre n = 8, dando 4.
- 5Desviación típica: la raíz cuadrada de 4 es 2.
Ejemplo 2
Pregunta
Halla la desviación típica muestral de: 4, 8, 6, 5, 3
Respuesta
Unos 1,92
Pasos
- 1Media: los valores suman 26, y 26 / 5 = 5,2.
- 2Desviaciones: -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
- 3Cuadrados: 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, que suman 14,8.
- 4Varianza muestral: divide entre n - 1 = 4, dando 3,7.
- 5Desviación típica: la raíz cuadrada de 3,7 es unos 1,92.
Dividir aquí entre 5 en vez de entre 4 daría 1,72. La diferencia importa sobre todo en muestras pequeñas, que es justo cuando lo preguntan los exámenes.
Ejemplo 3
Pregunta
Dos clases tienen ambas una media de 70. La clase A tiene una desviación típica de 3 y la clase B de 15. ¿Qué te dice eso?
Respuesta
La clase A es homogénea; la clase B tiene resultados mucho mejores y mucho peores.
Pasos
- 1La media no dice nada sobre la dispersión, así que medias idénticas pueden esconder distribuciones muy distintas.
- 2Una desviación típica de 3 significa que casi toda la clase A sacó entre 67 y 73 aproximadamente.
- 3Una desviación típica de 15 significa que la clase B va típicamente de unos 55 a unos 85.
- 4Así que la clase B contiene alumnos que necesitan apoyos muy distintos, pese a la media idéntica.
- 5Por eso dar una media sin una medida de dispersión resulta engañoso.
Errores habituales
Dividir entre n cuando los datos se describen como una muestra.
Las muestras dividen entre n - 1. Busca las palabras muestra, encuesta o seleccionados en el enunciado.
Olvidar la raíz cuadrada final y dar la varianza.
La varianza está en unidades al cuadrado. La desviación típica es su raíz cuadrada, en las unidades originales.
Sumar las desviaciones sin elevarlas al cuadrado.
Siempre suman cero, y por eso el cuadrado va primero.
Redondear la media pronto y arrastrar el error por todas las desviaciones.
Mantén la media exacta hasta la respuesta final y redondea una sola vez.
Practícalo
Resuélvelos primero tú y luego abre la respuesta. ¿Atascado a medias? Selecciona el problema y pídele a Solvecoon el paso que te falta.
1. Halla la desviación típica poblacional de 10, 12, 14.
Ver la respuesta
Unos 1,63. La media es 12, las desviaciones al cuadrado suman 8, y 8 / 3 = 2,67.
2. Halla la desviación típica muestral de los mismos datos: 10, 12, 14.
Ver la respuesta
2. Las desviaciones al cuadrado siguen sumando 8, pero dividir entre n - 1 = 2 da una varianza de 4.
3. Un conjunto de datos tiene varianza 49. ¿Cuál es su desviación típica?
Ver la respuesta
7. Toma la raíz cuadrada de la varianza.
Lo que suele preguntarse
- ¿Por qué elevar al cuadrado las desviaciones?
- Porque si no suman cero. El cuadrado elimina los signos y además pondera más las desviaciones grandes.
- ¿Por qué dividir entre n - 1 en una muestra?
- Porque la media de una muestra queda más cerca de sus datos que la media verdadera de la población, lo que subestima la dispersión. Dividir entre n - 1 corrige ese sesgo.
- ¿Una desviación típica alta es mala?
- Por sí sola no es buena ni mala. Es mala para una tolerancia de fabricación y neutra para unas notas de examen, así que decide el contexto.
- ¿Qué relación tiene con la distribución normal?
- En datos normalmente distribuidos, alrededor del 68 % de los valores está a una desviación típica de la media y alrededor del 95 % a dos.
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