Solvecoon标准差讲解
标准差衡量离散程度：一组数据里的数值通常离平均数有多远。两组数据可以有相同的平均数却完全不像，而正是这个数把它们区分开。
五个步骤
- 求出数据的平均数。
- 用每个数值减去平均数，得到偏差。
- 把每个偏差平方，这样就去掉了负号。
- 对这些平方偏差取平均。这就是方差。
- 对方差开平方，回到原来的单位。
样本还是总体
如果数据就是你关心的整个群体，就除以 n。如果它是用来推断更大总体的样本，就除以 n - 1。除以 n - 1 会让估计略大一点，纠正小样本里已知的偏差。读题看清是哪一种，往往比算式本身更值分。
这个数告诉你什么
标准差接近零，说明数值紧紧聚在平均数附近。数值大，则说明它们很分散。因为它与数据同单位，2 厘米的标准差可以直接与测量值相比较，这也是报告时更偏好它而不是方差的原因。
例题详解
例 1
题目
求下列总体的标准差：2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
答案
2
步骤
- 1平均数：各数之和为 40，40 / 8 = 5。
- 2偏差：-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4。
- 3平方：9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16，合计 32。
- 4总体方差：除以 n = 8，得 4。
- 5标准差：4 的平方根是 2。
例 2
题目
求下列样本的标准差：4, 8, 6, 5, 3
答案
约 1.92
步骤
- 1平均数：各数之和为 26，26 / 5 = 5.2。
- 2偏差：-1.2, 2.8, 0.8, -0.2, -2.2。
- 3平方：1.44, 7.84, 0.64, 0.04, 4.84，合计 14.8。
- 4样本方差：除以 n - 1 = 4，得 3.7。
- 5标准差：3.7 的平方根约为 1.92。
这里若除以 5 而不是 4，会得到 1.72。这个差别在小样本里影响最大，而考试问的恰恰就是小样本。
例 3
题目
两个班的平均分都是 70。A 班标准差是 3，B 班是 15。这说明什么？
答案
A 班很整齐；B 班既有明显更好的成绩，也有明显更差的成绩。
步骤
- 1平均数对离散程度只字不提，所以相同的平均数可能掩盖差别很大的分布。
- 2标准差为 3，说明 A 班大多数人的分数大致在 67 到 73 之间。
- 3标准差为 15，说明 B 班通常从大约 55 一直分布到 85。
- 4也就是说，尽管平均分相同，B 班里有需要截然不同支持的学生。
- 5这正是为什么只报平均数而不给离散度指标会误导人。
常见错误
题目说的是样本，却除以 n。
样本要除以 n - 1。在题干里找「样本」「调查」「抽取」这些词。
忘了最后开平方，把方差当成答案。
方差的单位是平方。标准差是它的平方根，单位与原数据相同。
不平方就把偏差直接相加。
偏差之和永远是零，这正是要先平方的原因。
过早把平均数四舍五入，让误差贯穿每个偏差。
把平均数精确保留到最后答案，再四舍五入一次。
动手练一练
先自己算，再打开答案。算到一半卡住了？选中题目，问 Solvecoon 你缺的那一步。
1. 求总体 10, 12, 14 的标准差。
查看答案
约 1.63。平均数是 12，平方偏差之和为 8，而 8 / 3 = 2.67。
2. 把同一组数据 10, 12, 14 当作样本，求标准差。
查看答案
2。平方偏差之和仍是 8，但除以 n - 1 = 2 得到方差 4。
3. 某组数据的方差是 49。它的标准差是多少？
查看答案
7。对方差开平方即可。
大家常问的问题
- 为什么非要把偏差平方？
- 因为不平方它们的和就是零。平方去掉了符号，同时也给较大的偏离更高的权重。
- 样本为什么除以 n - 1？
- 因为样本自身的平均数比真实的总体平均数更贴近这组数据，会低估离散程度。除以 n - 1 就是在纠正这个偏差。
- 标准差大是坏事吗？
- 单看它无所谓好坏。对制造公差来说是坏事，对考试成绩来说则是中性的，要看语境。
- 它和正态分布有什么关系？
- 对正态分布的数据，约 68% 的数值落在平均数上下一个标准差之内，约 95% 落在两个标准差之内。