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L'écart type, expliqué

L'écart type mesure la dispersion : à quelle distance de leur moyenne les valeurs d'un jeu de données se situent typiquement. Deux jeux de données peuvent partager la même moyenne sans se ressembler, et c'est ce nombre qui les distingue.

Les cinq étapes

  • Trouvez la moyenne des données.
  • Retranchez la moyenne de chaque valeur pour obtenir les écarts.
  • Élevez chaque écart au carré, ce qui supprime les signes négatifs.
  • Faites la moyenne des écarts au carré. C'est la variance.
  • Prenez la racine carrée de la variance pour revenir aux unités de départ.

Échantillon ou population

Si vos données constituent le groupe entier qui vous intéresse, divisez par n. S'il s'agit d'un échantillon servant à estimer une population plus large, divisez par n - 1. Diviser par n - 1 rend l'estimation légèrement plus grande, ce qui corrige un biais connu sur les petits échantillons. Lire l'énoncé pour voir dans quel cas on est vaut plus de points que le calcul.

Ce que le nombre vous dit

Un écart type proche de zéro signifie que les valeurs se serrent autour de la moyenne. Un grand écart type signifie qu'elles sont dispersées. Comme il s'exprime dans les mêmes unités que les données, un écart type de 2 cm est directement comparable aux mesures elles-mêmes, ce qui explique qu'on le préfère à la variance dans les comptes rendus.

Exemples détaillés

Exemple 1

Question

Trouvez l'écart type de la population de : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Réponse

2

Étapes

  1. 1Moyenne : les valeurs totalisent 40, et 40 / 8 = 5.
  2. 2Écarts : -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
  3. 3Carrés : 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, dont la somme fait 32.
  4. 4Variance de la population : divisez par n = 8, ce qui donne 4.
  5. 5Écart type : la racine carrée de 4 vaut 2.

Exemple 2

Question

Trouvez l'écart type de l'échantillon : 4, 8, 6, 5, 3

Réponse

Environ 1,92

Étapes

  1. 1Moyenne : les valeurs totalisent 26, et 26 / 5 = 5,2.
  2. 2Écarts : -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
  3. 3Carrés : 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, dont la somme fait 14,8.
  4. 4Variance de l'échantillon : divisez par n - 1 = 4, ce qui donne 3,7.
  5. 5Écart type : la racine carrée de 3,7 vaut environ 1,92.

Diviser ici par 5 au lieu de 4 donnerait 1,72. L'écart compte surtout sur les petits échantillons, et c'est précisément là que les examens interrogent.

Exemple 3

Question

Deux classes ont toutes deux une moyenne de 70. La classe A a un écart type de 3, la classe B de 15. Qu'est-ce que cela vous apprend ?

Réponse

La classe A est homogène ; la classe B compte des résultats bien meilleurs et bien plus faibles.

Étapes

  1. 1La moyenne ne dit rien de la dispersion, des moyennes identiques peuvent donc cacher des distributions très différentes.
  2. 2Un écart type de 3 signifie que la classe A a obtenu grosso modo entre 67 et 73.
  3. 3Un écart type de 15 signifie que la classe B s'étale typiquement d'environ 55 à 85.
  4. 4La classe B contient donc des élèves qui ont besoin d'accompagnements très différents, malgré la moyenne identique.
  5. 5C'est pourquoi annoncer une moyenne sans mesure de dispersion est trompeur.

Erreurs fréquentes

Diviser par n alors que les données sont décrites comme un échantillon.

Les échantillons divisent par n - 1. Cherchez les mots échantillon, sondage ou sélectionnés dans l'énoncé.

Oublier la racine carrée finale et annoncer la variance.

La variance s'exprime en unités au carré. L'écart type en est la racine carrée, dans les unités de départ.

Additionner les écarts sans les élever au carré.

Ils totalisent toujours zéro, et c'est pour cela qu'on élève au carré d'abord.

Arrondir la moyenne trop tôt et traîner l'erreur dans tous les écarts.

Gardez la moyenne exacte jusqu'à la réponse finale, puis arrondissez une seule fois.

À toi de t'entraîner

Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.

  • 1. Trouvez l'écart type de la population 10, 12, 14.

    Voir la réponse

    Environ 1,63. La moyenne vaut 12, les écarts au carré totalisent 8, et 8 / 3 = 2,67.

  • 2. Trouvez l'écart type de l'échantillon pour les mêmes données : 10, 12, 14.

    Voir la réponse

    2. Les écarts au carré totalisent toujours 8, mais diviser par n - 1 = 2 donne une variance de 4.

  • 3. Un jeu de données a une variance de 49. Quel est son écart type ?

    Voir la réponse

    7. Prenez la racine carrée de la variance.

Les questions qu'on nous pose

Pourquoi élever les écarts au carré ?
Parce qu'ils totalisent zéro sinon. Le carré supprime les signes et pondère aussi plus lourdement les écarts importants.
Pourquoi diviser par n - 1 pour un échantillon ?
Parce que la moyenne d'un échantillon est plus proche de ses données que la vraie moyenne de la population, ce qui sous-estime la dispersion. Diviser par n - 1 corrige ce biais.
Un écart type élevé est-il mauvais ?
Il n'est ni bon ni mauvais en soi. Il est mauvais pour une tolérance de fabrication et neutre pour des notes d'examen : c'est le contexte qui tranche.
Quel rapport avec la loi normale ?
Pour des données normalement distribuées, environ 68 % des valeurs se situent à un écart type de la moyenne et environ 95 % à deux.
Mascotte raton laveur de Solvecoon

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