Solvecoon

Стандартное отклонение, объяснение

Стандартное отклонение измеряет разброс: насколько далеко значения набора данных обычно лежат от своего среднего. Два набора могут иметь одно среднее и совершенно не походить друг на друга, и именно это число их различает.

Пять шагов

  • Найдите среднее значений.
  • Вычтите среднее из каждого значения — получатся отклонения.
  • Возведите каждое отклонение в квадрат, это убирает знаки минус.
  • Усредните квадраты отклонений. Это дисперсия.
  • Извлеките корень из дисперсии, чтобы вернуться к исходным единицам.

Выборка или генеральная совокупность

Если ваши данные — это вся интересующая вас группа, делите на n. Если это выборка, по которой оценивают более широкую совокупность, делите на n - 1. Деление на n - 1 делает оценку чуть больше и исправляет известное смещение на малых выборках. Прочитать условие и понять, какой случай перед вами, порой ценнее самих вычислений.

Что говорит это число

Стандартное отклонение около нуля означает, что значения плотно жмутся к среднему. Большое означает, что они разбросаны. Оно выражено в тех же единицах, что и данные, поэтому отклонение в 2 см напрямую сравнимо с самими измерениями — за это его и предпочитают дисперсии в отчётах.

Разобранные примеры

Пример 1

Вопрос

Найдите стандартное отклонение генеральной совокупности: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Ответ

2

Шаги

  1. 1Среднее: сумма значений 40, и 40 / 8 = 5.
  2. 2Отклонения: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
  3. 3Квадраты: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, в сумме 32.
  4. 4Дисперсия совокупности: делим на n = 8, получаем 4.
  5. 5Стандартное отклонение: корень из 4 равен 2.

Пример 2

Вопрос

Найдите выборочное стандартное отклонение: 4, 8, 6, 5, 3

Ответ

Примерно 1,92

Шаги

  1. 1Среднее: сумма значений 26, и 26 / 5 = 5,2.
  2. 2Отклонения: -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
  3. 3Квадраты: 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, в сумме 14,8.
  4. 4Выборочная дисперсия: делим на n - 1 = 4, получаем 3,7.
  5. 5Стандартное отклонение: корень из 3,7 равен примерно 1,92.

Деление здесь на 5 вместо 4 дало бы 1,72. Разница важнее всего на малых выборках, а именно о них и спрашивают на экзаменах.

Пример 3

Вопрос

У двух классов среднее равно 70. У класса А стандартное отклонение 3, у класса Б — 15. О чём это говорит?

Ответ

Класс А однороден; в классе Б есть и гораздо более сильные, и гораздо более слабые результаты.

Шаги

  1. 1Среднее ничего не говорит о разбросе, поэтому одинаковые средние могут скрывать очень разные распределения.
  2. 2Отклонение 3 означает, что почти весь класс А получил примерно от 67 до 73.
  3. 3Отклонение 15 означает, что класс Б обычно растянут примерно от 55 до 85.
  4. 4Значит, в классе Б есть ученики, которым нужна совершенно разная поддержка, несмотря на одинаковое среднее.
  5. 5Вот почему приводить среднее без меры разброса — значит вводить в заблуждение.

Частые ошибки

Делить на n, когда данные названы выборкой.

Выборки делят на n - 1. Ищите в условии слова «выборка», «опрос» или «отобраны».

Забыть про последний корень и записать дисперсию.

Дисперсия выражена в квадратах единиц. Стандартное отклонение — её корень, в исходных единицах.

Сложить отклонения, не возведя их в квадрат.

Их сумма всегда равна нулю, поэтому возведение в квадрат идёт первым.

Округлить среднее заранее и протащить ошибку через все отклонения.

Держите среднее точным до финального ответа и округлите один раз.

Потренируйтесь

Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.

  • 1. Найдите стандартное отклонение совокупности 10, 12, 14.

    Показать ответ

    Примерно 1,63. Среднее равно 12, сумма квадратов отклонений 8, и 8 / 3 = 2,67.

  • 2. Найдите выборочное стандартное отклонение для тех же данных: 10, 12, 14.

    Показать ответ

    2. Сумма квадратов отклонений по-прежнему 8, но деление на n - 1 = 2 даёт дисперсию 4.

  • 3. У набора данных дисперсия равна 49. Чему равно стандартное отклонение?

    Показать ответ

    7. Извлеките корень из дисперсии.

О чём спрашивают

Зачем вообще возводить отклонения в квадрат?
Иначе их сумма равна нулю. Квадрат убирает знаки и заодно сильнее взвешивает крупные отклонения.
Почему для выборки делят на n - 1?
Потому что собственное среднее выборки лежит ближе к её данным, чем истинное среднее совокупности, и это занижает разброс. Деление на n - 1 исправляет это смещение.
Большое стандартное отклонение — это плохо?
Само по себе оно ни хорошо, ни плохо. Для производственного допуска это плохо, для экзаменационных оценок нейтрально: решает контекст.
Как оно связано с нормальным распределением?
Для нормально распределённых данных около 68 % значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего и около 95 % — в пределах двух.
Енот — маскот Solvecoon

Одна такая прямо перед вами?

Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.

Добавить в Chrome →

Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.