La deviazione standard, spiegata
La deviazione standard misura la dispersione: quanto tipicamente i valori di un insieme di dati si trovano lontani dalla loro media. Due insiemi possono avere la stessa media e non somigliarsi affatto, ed è questo numero a distinguerli.
I cinque passaggi
- Trova la media dei dati.
- Sottrai la media da ogni valore per ottenere gli scarti.
- Eleva al quadrato ogni scarto, il che elimina i segni negativi.
- Fai la media degli scarti al quadrato. Questa è la varianza.
- Estrai la radice quadrata della varianza per tornare alle unità di partenza.
Campione o popolazione
Se i tuoi dati sono l'intero gruppo che ti interessa, dividi per n. Se sono un campione usato per stimare una popolazione più ampia, dividi per n - 1. Dividere per n - 1 rende la stima leggermente più grande, correggendo una distorsione nota nei campioni piccoli. Leggere il testo per capire in quale caso ti trovi vale più punti dei calcoli.
Che cosa ti dice il numero
Una deviazione standard vicina a zero significa che i valori si stringono attorno alla media. Una grande significa che sono dispersi. Poiché è espressa nelle stesse unità dei dati, una deviazione standard di 2 cm è direttamente confrontabile con le misure stesse, ed è per questo che viene preferita alla varianza quando si riportano i risultati.
Esempi svolti
Esempio 1
Domanda
Trova la deviazione standard della popolazione di: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Risposta
2
Passaggi
- 1Media: i valori sommano a 40, e 40 / 8 = 5.
- 2Scarti: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
- 3Quadrati: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, che sommano a 32.
- 4Varianza della popolazione: dividi per n = 8, ottenendo 4.
- 5Deviazione standard: la radice quadrata di 4 è 2.
Esempio 2
Domanda
Trova la deviazione standard campionaria di: 4, 8, 6, 5, 3
Risposta
Circa 1,92
Passaggi
- 1Media: i valori sommano a 26, e 26 / 5 = 5,2.
- 2Scarti: -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
- 3Quadrati: 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, che sommano a 14,8.
- 4Varianza campionaria: dividi per n - 1 = 4, ottenendo 3,7.
- 5Deviazione standard: la radice quadrata di 3,7 è circa 1,92.
Dividere qui per 5 invece che per 4 darebbe 1,72. La differenza conta soprattutto nei campioni piccoli, che è esattamente quando gli esami la chiedono.
Esempio 3
Domanda
Due classi hanno entrambe media 70. La classe A ha una deviazione standard di 3, la classe B di 15. Che cosa ti dice?
Risposta
La classe A è omogenea; la classe B ha risultati sia molto migliori sia molto peggiori.
Passaggi
- 1La media non dice nulla sulla dispersione, quindi medie identiche possono nascondere distribuzioni molto diverse.
- 2Una deviazione standard di 3 significa che quasi tutta la classe A ha preso all'incirca tra 67 e 73.
- 3Una deviazione standard di 15 significa che la classe B va tipicamente da circa 55 a circa 85.
- 4Quindi la classe B contiene studenti che hanno bisogno di supporti molto diversi, nonostante la media identica.
- 5Ecco perché riportare una media senza una misura di dispersione è fuorviante.
Errori comuni
Dividere per n quando i dati sono descritti come un campione.
I campioni si dividono per n - 1. Cerca le parole campione, sondaggio o selezionati nel testo.
Dimenticare la radice quadrata finale e dare la varianza.
La varianza è in unità al quadrato. La deviazione standard è la sua radice quadrata, nelle unità di partenza.
Sommare gli scarti senza elevarli al quadrato.
Sommano sempre a zero, ed è per questo che si eleva al quadrato per primo.
Arrotondare la media troppo presto e trascinare l'errore in ogni scarto.
Tieni la media esatta fino alla risposta finale, poi arrotonda una sola volta.
Mettiti alla prova
Risolvili prima tu, poi apri la risposta. Bloccato a metà? Seleziona il problema e chiedi a Solvecoon il passaggio che ti manca.
1. Trova la deviazione standard della popolazione 10, 12, 14.
Mostra la risposta
Circa 1,63. La media è 12, gli scarti al quadrato sommano a 8, e 8 / 3 = 2,67.
2. Trova la deviazione standard campionaria degli stessi dati: 10, 12, 14.
Mostra la risposta
2. Gli scarti al quadrato sommano ancora a 8, ma dividere per n - 1 = 2 dà una varianza di 4.
3. Un insieme di dati ha varianza 49. Qual è la sua deviazione standard?
Mostra la risposta
7. Estrai la radice quadrata della varianza.
Le domande che ci fanno
- Perché elevare al quadrato gli scarti?
- Perché altrimenti sommano a zero. Il quadrato elimina i segni e allo stesso tempo pesa di più gli scostamenti grandi.
- Perché dividere per n - 1 in un campione?
- Perché la media di un campione è più vicina ai suoi dati di quanto lo sia la vera media della popolazione, il che sottostima la dispersione. Dividere per n - 1 corregge questa distorsione.
- Una deviazione standard alta è negativa?
- Di per sé non è né buona né cattiva. È negativa per una tolleranza di produzione e neutra per i voti di un esame: decide il contesto.
- Che rapporto ha con la distribuzione normale?
- Per dati distribuiti normalmente, circa il 68 % dei valori sta entro una deviazione standard dalla media e circa il 95 % entro due.
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