標準偏差、解説
標準偏差はばらつきを測ります。データの値が平均からふつうどれくらい離れているか、ということです。2つのデータは平均が同じでもまるで似ていないことがあり、その違いを言い当てるのがこの数です。
5つのステップ
- データの平均を求める。
- 各値から平均を引いて偏差を出す。
- 各偏差を2乗する。これで負の符号が消える。
- 2乗した偏差を平均する。これが分散。
- 分散の平方根をとって、もとの単位に戻す。
標本か母集団か
データが関心のある集団そのものなら n で割ります。より広い母集団を推定するための標本なら n - 1 で割ります。n - 1 で割ると推定値がわずかに大きくなり、小標本で知られた偏りを補正します。どちらなのかを問題文から読み取ることは、計算そのものより配点が高いこともあります。
この数が教えてくれること
標準偏差が0に近ければ、値は平均のまわりに密集しています。大きければ散らばっています。データと同じ単位なので、標準偏差2 cmは測定値そのものと直接比べられます。報告のときに分散より好まれるのはそのためです。
解いてみる例
例 1
問題
次の母標準偏差を求めなさい: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
答え
2
手順
- 1平均: 合計は40で、40 / 8 = 5。
- 2偏差: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4。
- 32乗: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 で、合計32。
- 4母分散: n = 8 で割って 4。
- 5標準偏差: 4 の平方根は 2。
例 2
問題
次の標本標準偏差を求めなさい: 4, 8, 6, 5, 3
答え
約1.92
手順
- 1平均: 合計は26で、26 / 5 = 5.2。
- 2偏差: -1.2, 2.8, 0.8, -0.2, -2.2。
- 32乗: 1.44, 7.84, 0.64, 0.04, 4.84 で、合計14.8。
- 4標本分散: n - 1 = 4 で割って 3.7。
- 5標準偏差: 3.7 の平方根は約1.92。
ここで4ではなく5で割ると1.72になります。この差が最も効くのは小標本のときで、試験が問うのもまさにそこです。
例 3
問題
2つのクラスはどちらも平均70です。Aクラスの標準偏差は3、Bクラスは15。ここから何がわかりますか。
答え
Aクラスは揃っており、Bクラスにははるかに優秀な結果もはるかに低い結果もある。
手順
- 1平均はばらつきについて何も語らないので、同じ平均がまるで違う分布を隠していることがあります。
- 2標準偏差3は、Aクラスのほとんどがおおよそ67から73の間だったことを意味します。
- 3標準偏差15は、Bクラスがおおむね55から85まで広がっていることを意味します。
- 4つまりBクラスには、平均が同じでもまったく違う支援を必要とする生徒がいます。
- 5だから、ばらつきの指標なしに平均だけを示すのは誤解を招くのです。
よくあるつまずき
データが標本と書かれているのに n で割る。
標本は n - 1 で割ります。問題文の「標本」「調査」「選ばれた」という語を探しましょう。
最後の平方根を忘れて分散を答える。
分散の単位は2乗されています。標準偏差はその平方根で、もとの単位です。
偏差を2乗せずに足す。
偏差の和はいつでも0です。だからまず2乗するのです。
平均を早い段階で四捨五入し、その誤差をすべての偏差に持ち込む。
最終の答えまで平均は正確なまま保ち、四捨五入は一度だけにします。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. 10, 12, 14 の母標準偏差を求めなさい。
答えを見る
約1.63。平均は12、2乗した偏差の和は8で、8 / 3 = 2.67。
2. 同じデータ 10, 12, 14 の標本標準偏差を求めなさい。
答えを見る
2。2乗した偏差の和は8のままですが、n - 1 = 2 で割ると分散は4になります。
3. あるデータの分散は49です。標準偏差はいくつですか。
答えを見る
7。分散の平方根をとります。
よく聞かれること
- そもそもなぜ偏差を2乗するのですか。
- そうしないと和が0になってしまうからです。2乗は符号を消すと同時に、大きな外れを重く扱います。
- 標本ではなぜ n - 1 で割るのですか。
- 標本自身の平均は、真の母平均よりもそのデータに近い位置にあり、ばらつきを小さく見せてしまいます。n - 1 で割るとその偏りが補正されます。
- 標準偏差が大きいのは悪いことですか。
- それ自体は良くも悪くもありません。製造公差では悪く、試験の点数では中立で、文脈が決めます。
- 正規分布とはどう関係しますか。
- 正規分布するデータでは、値のおよそ68%が平均から標準偏差1つ以内に、およそ95%が2つ以内に入ります。
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