平均と中央値
どちらも代表値で、左右対称なデータでは一致します。ゆがんだデータでは大きく食い違うことがあり、選び間違えることこそ、技術的には正しい統計が人を誤らせる仕組みです。
それぞれの求め方
- 平均: すべての値を足して、個数で割る。
- 中央値: 値を並べ替えて、真ん中を取る。
- 個数が偶数のときは、中央値は真ん中2つの平均。
決定的な違い
平均はすべての値を使うので、極端な値が1つあるだけで引っぱられます。中央値は順位しか見ないので、極端な値が動かせるのはせいぜい1つ分です。この粘り強さを頑健性と呼び、2つの指標が両方存在する理由のすべてです。
どちらを使うか
- 外れ値のない左右対称なデータ: 平均。すべての情報を使うから。
- 所得や住宅価格のようにゆがんだデータ: 中央値。
- 既知の誤りや極端な外れ値を含むデータ: 中央値。
- 標準偏差など、さらに計算が続くとき: 平均。公式がそれを土台にしているから。
解いてみる例
例 1
問題
5人の年収（千単位）: 30, 32, 35, 38, 250。平均と中央値を求め、この集団をよりよく表すのはどちらか答えなさい。
答え
平均77、中央値35。公平な説明は中央値。
手順
- 1合計: 30 + 32 + 35 + 38 + 250 = 385。
- 2平均: 385 / 5 = 77千。
- 3データはすでに並んでおり、5個なら真ん中は3番目: 35千。
- 45人のうち4人が平均より低いので、平均はこの集団の誰も説明していません。
- 535という中央値は人々が実際に稼いでいる額のただ中にあり、ここでは誠実な要約です。
所得統計が中央値で報じられるのはまさにこのためです。とても大きな値が1つあるだけで、平均は誰も住んでいない場所へ引っぱられます。
例 2
問題
テストの点数: 68, 71, 74, 77, 80。平均と中央値を求めなさい。
答え
どちらも74
手順
- 1合計: 68 + 71 + 74 + 77 + 80 = 370。
- 2平均: 370 / 5 = 74。
- 3すでに並んでいるので中央値は3番目の値: 74。
- 4データが左右対称で外れ値がないので一致します。
- 5平均と中央値が一致するなら、どちらも公平な要約です。
例 3
問題
6件の配達時間（分）: 20, 22, 25, 27, 30, 95。両方の代表値を求めなさい。
答え
平均36.5、中央値26
手順
- 1合計: 20 + 22 + 25 + 27 + 30 + 95 = 219。
- 2平均: 219 / 6 = 36.5分。
- 36個なので中央値は3番目と4番目の平均: (25 + 27) / 2 = 26。
- 495分の1件が、平均には10分以上、中央値には2分を足しています。
- 5典型的な待ち時間としては26分と言い、配達員の総労働時間には平均が必要です。
よくあるつまずき
先に並べ替えずに中央値を求める。
毎回並べ替えます。並んでいない列の真ん中は中央値ではありません。
個数が偶数なのに真ん中の1つを取る。
真ん中2つの平均を取ります。6個なら3番目と4番目です。
住宅価格のようにゆがんだデータで平均を示す。
少数のとても大きな値が代表値を典型から引き離しているときは中央値を使います。
中央値のほうがいつでもよい選択だと思い込む。
平均はすべての情報を使い、分散や標準偏差、合計には不可欠です。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. 2, 3, 3, 4, 100 の平均と中央値を求めなさい。
答えを見る
平均22.4、中央値3。中央値のほうがこのデータをはるかによく表します。
2. 5, 9, 2, 8 の中央値を求めなさい。
答えを見る
6.5。2, 5, 8, 9 に並べ替え、真ん中2つを平均します。
3. あるデータの平均は50、中央値は35です。これは何を示唆しますか。
答えを見る
右にゆがんでいるということです。少数の大きな値が平均をデータの中心より上へ引っぱっています。
よく聞かれること
- 本当の平均はどちらですか。
- どちらもです。平均という言葉は一般的で、算術平均と中央値は具体的な指標です。設問はどちらを求めているかを示すべきです。
- 平均が中央値よりずっと大きいのは何を意味しますか。
- データが右にゆがみ、大きな値の裾を引いているということです。所得、住宅価格、待ち時間はたいていこうなります。
- 最頻値はどこに位置づけられますか。
- 最頻値は最も多く現れる値です。3つのうちで唯一、いちばん多い目の色のようなカテゴリにも使えます。
- 中央値がデータにない値になることはありますか。
- あります。個数が偶数のときはいつでもです。真ん中2つの平均だからです。
いま目の前にありますか？
ページ上で問題を選ぶか、Cmd/Ctrl + Shift + S でスナップすれば、Solvecoon が一緒に解いていきます。
Chrome に追加 →無料でお試し — 1日5回まで。クレジットカードは不要です。