Średnia a mediana
Obie są miarami przeciętnymi i przy danych symetrycznych się pokrywają. Przy danych skośnych mogą się drastycznie rozjeżdżać, a wybór złej to sposób, w jaki technicznie prawdziwa statystyka zaczyna wprowadzać w błąd.
Jak liczy się każdą z nich
- Średnia: dodaj wszystkie wartości i podziel przez ich liczbę.
- Mediana: uporządkuj wartości i weź środkową.
- Przy parzystej liczbie wartości mediana to średnia dwóch środkowych.
Kluczowa różnica
Średnia korzysta z każdej wartości, więc jedna skrajna wartość ją ciągnie. Medianę obchodzi tylko pozycja, więc wartość skrajna przesuwa ją najwyżej o jedno miejsce. Tę odporność nazywamy odpornością statystyczną i to cały powód, dla którego istnieją obie miary.
Której użyć
- Dane symetryczne bez wartości odstających: średnia, bo korzysta z całej informacji.
- Dane skośne, jak dochody czy ceny mieszkań: mediana.
- Dane ze znanymi błędami albo skrajnymi wartościami odstającymi: mediana.
- Gdy potrzebne są dalsze obliczenia, jak odchylenie standardowe: średnia, bo wzory są na niej zbudowane.
Rozpisane przykłady
Przykład 1
Pytanie
Pięć pensji w tysiącach: 30, 32, 35, 38, 250. Znajdź średnią i medianę i powiedz, która lepiej opisuje tę grupę.
Odpowiedź
Średnia 77, mediana 35. Uczciwym opisem jest mediana.
Kroki
- 1Suma: 30 + 32 + 35 + 38 + 250 = 385.
- 2Średnia: 385 / 5 = 77 tysięcy.
- 3Dane są już uporządkowane, a przy pięciu wartościach środkowa jest trzecia: 35 tysięcy.
- 4Cztery osoby z pięciu zarabiają mniej niż średnia, więc nie opisuje ona nikogo z grupy.
- 5Mediana 35 leży pośrodku tego, co ludzie faktycznie zarabiają, i jest tu uczciwym podsumowaniem.
Właśnie dlatego statystyki dochodów podaje się jako mediany. Jedna bardzo duża wartość ciągnie średnią tam, gdzie nikt nie mieszka.
Przykład 2
Pytanie
Wyniki sprawdzianu: 68, 71, 74, 77, 80. Znajdź średnią i medianę.
Odpowiedź
Obie wynoszą 74
Kroki
- 1Suma: 68 + 71 + 74 + 77 + 80 = 370.
- 2Średnia: 370 / 5 = 74.
- 3Już uporządkowane, więc mediana to trzecia wartość: 74.
- 4Pokrywają się, bo dane są symetryczne i bez wartości odstających.
- 5Gdy średnia i mediana się zgadzają, każda z nich jest uczciwym podsumowaniem.
Przykład 3
Pytanie
Sześć czasów dostawy w minutach: 20, 22, 25, 27, 30, 95. Znajdź obie miary.
Odpowiedź
Średnia 36,5, mediana 26
Kroki
- 1Suma: 20 + 22 + 25 + 27 + 30 + 95 = 219.
- 2Średnia: 219 / 6 = 36,5 minuty.
- 3Przy sześciu wartościach mediana to średnia trzeciej i czwartej: (25 + 27) / 2 = 26.
- 4Jedna dostawa trwająca 95 minut dokłada do średniej ponad dziesięć minut, a do mediany dwie.
- 5Dla typowego czasu oczekiwania podaj 26 minut; do sumy godzin pracy kurierów potrzebna jest średnia.
Częste błędy
Szukanie mediany bez wcześniejszego uporządkowania danych.
Porządkuj za każdym razem. Środek nieuporządkowanej listy nie jest medianą.
Wzięcie jednej wartości środkowej, gdy liczba wartości jest parzysta.
Uśrednij dwie środkowe wartości. Przy sześciu elementach to trzecia i czwarta.
Podawanie średniej dla danych skośnych, jak ceny mieszkań.
Użyj mediany, gdy kilka bardzo dużych wartości odciąga miarę od tego, co typowe.
Założenie, że mediana jest zawsze lepszym wyborem.
Średnia korzysta z całej informacji i jest niezbędna do wariancji, odchylenia standardowego i sum.
Poćwicz
Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.
1. Znajdź średnią i medianę zbioru 2, 3, 3, 4, 100.
Pokaż odpowiedź
Średnia 22,4, mediana 3. Mediana opisuje te dane znacznie lepiej.
2. Znajdź medianę zbioru 5, 9, 2, 8.
Pokaż odpowiedź
6,5. Uporządkuj do 2, 5, 8, 9 i uśrednij dwie środkowe.
3. Zbiór danych ma średnią 50 i medianę 35. Co to sugeruje?
Pokaż odpowiedź
Że jest skośny prawostronnie: kilka dużych wartości ciągnie średnią powyżej środka danych.
O co ludzie pytają
- Która miara jest tą prawdziwą średnią?
- Obie. Przeciętna to słowo ogólne; średnia arytmetyczna i mediana to konkretne miary, a zadanie powinno wskazać, o którą chodzi.
- Co znaczy, że średnia jest dużo wyższa od mediany?
- Dane są skośne prawostronnie, z ogonem dużych wartości. Dochody, ceny mieszkań i czasy oczekiwania zwykle tak wyglądają.
- Gdzie tu miejsce dla dominanty?
- Dominanta to wartość najczęstsza. Jako jedyna z trzech działa też dla kategorii, na przykład najczęstszego koloru oczu.
- Czy mediana może być wartością spoza zbioru?
- Tak, zawsze gdy liczba wartości jest parzysta, bo wtedy jest średnią dwóch środkowych.
Masz jedno przed sobą?
Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.
Dodaj do Chrome →Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.