Mittelwert vs. Median
Beides sind Durchschnitte, und bei symmetrischen Daten stimmen sie überein. Bei schiefen Daten können sie weit auseinanderliegen, und den falschen zu wählen ist der Weg, wie eine technisch wahre Statistik in die Irre führt.
Wie jeder berechnet wird
- Mittelwert: alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen.
- Median: die Werte sortieren und den mittleren nehmen.
- Bei gerader Anzahl ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.
Der entscheidende Unterschied
Der Mittelwert nutzt jeden Wert, ein einzelner Extremwert zieht ihn also mit. Der Median achtet nur auf die Position, ein Extremwert verschiebt ihn also höchstens um einen Platz. Diese Widerstandsfähigkeit heißt Robustheit, und sie ist der ganze Grund, warum es beide Maße gibt.
Welchen man nimmt
- Symmetrische Daten ohne Ausreißer: den Mittelwert, weil er alle Informationen nutzt.
- Schiefe Daten wie Einkommen oder Immobilienpreise: den Median.
- Daten mit bekannten Fehlern oder extremen Ausreißern: den Median.
- Wenn weitergerechnet wird, etwa zur Standardabweichung: den Mittelwert, denn die Formeln bauen darauf auf.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Fünf Gehälter in Tausend: 30, 32, 35, 38, 250. Bestimme Mittelwert und Median und sag, was die Gruppe besser beschreibt.
Antwort
Mittelwert 77, Median 35. Der Median ist die faire Beschreibung.
Schritte
- 1Summe: 30 + 32 + 35 + 38 + 250 = 385.
- 2Mittelwert: 385 / 5 = 77 Tausend.
- 3Die Daten sind bereits sortiert, und bei fünf Werten ist der mittlere der dritte: 35 Tausend.
- 4Vier von fünf Personen verdienen weniger als der Mittelwert, er beschreibt also niemanden in der Gruppe.
- 5Der Median bei 35 liegt mitten in dem, was die Leute tatsächlich verdienen, und ist hier die ehrliche Zusammenfassung.
Genau deshalb werden Einkommensstatistiken als Mediane berichtet. Ein einziger sehr großer Wert zieht einen Mittelwert dorthin, wo niemand lebt.
Beispiel 2
Frage
Testergebnisse: 68, 71, 74, 77, 80. Bestimme Mittelwert und Median.
Antwort
Beide sind 74
Schritte
- 1Summe: 68 + 71 + 74 + 77 + 80 = 370.
- 2Mittelwert: 370 / 5 = 74.
- 3Schon sortiert, der Median ist also der dritte Wert: 74.
- 4Sie stimmen überein, weil die Daten symmetrisch und ohne Ausreißer sind.
- 5Wenn Mittelwert und Median übereinstimmen, ist jeder von beiden eine faire Zusammenfassung.
Beispiel 3
Frage
Sechs Lieferzeiten in Minuten: 20, 22, 25, 27, 30, 95. Bestimme beide Durchschnitte.
Antwort
Mittelwert 36,5, Median 26
Schritte
- 1Summe: 20 + 22 + 25 + 27 + 30 + 95 = 219.
- 2Mittelwert: 219 / 6 = 36,5 Minuten.
- 3Bei sechs Werten ist der Median der Durchschnitt des dritten und vierten: (25 + 27) / 2 = 26.
- 4Die eine 95-Minuten-Lieferung fügt dem Mittelwert über zehn Minuten hinzu und dem Median zwei.
- 5Für eine typische Wartezeit nenn 26 Minuten; für die gesamten Fahrerstunden brauchst du den Mittelwert.
Typische Fehler
Den Median bestimmen, ohne die Daten vorher zu sortieren.
Sortiere jedes Mal. Die Mitte einer unsortierten Liste ist nicht der Median.
Bei gerader Anzahl einen einzelnen mittleren Wert nehmen.
Mittle die beiden mittleren Werte. Bei sechs Elementen sind das der dritte und vierte.
Den Mittelwert für schiefe Daten wie Immobilienpreise angeben.
Nimm den Median, wenn ein paar sehr große Werte den Durchschnitt vom Typischen wegziehen.
Annehmen, der Median sei immer die bessere Wahl.
Der Mittelwert nutzt alle Informationen und wird für Varianz, Standardabweichung und Summen gebraucht.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Bestimme Mittelwert und Median von 2, 3, 3, 4, 100.
Antwort zeigen
Mittelwert 22,4, Median 3. Der Median beschreibt diese Daten weit besser.
2. Bestimme den Median von 5, 9, 2, 8.
Antwort zeigen
6,5. Sortiere zu 2, 5, 8, 9 und mittle die beiden mittleren.
3. Ein Datensatz hat Mittelwert 50 und Median 35. Was lässt das vermuten?
Antwort zeigen
Er ist rechtsschief: ein paar große Werte ziehen den Mittelwert über die Mitte der Daten.
Was oft gefragt wird
- Welcher Durchschnitt ist der echte Durchschnitt?
- Beide sind es. Durchschnitt ist ein allgemeines Wort; Mittelwert und Median sind konkrete Maße, und eine Aufgabe sollte sagen, welches sie will.
- Was heißt es, wenn der Mittelwert viel höher ist als der Median?
- Die Daten sind rechtsschief, mit einem Schwanz großer Werte. Einkommen, Immobilienpreise und Wartezeiten sehen meist so aus.
- Wo passt der Modus hinein?
- Der Modus ist der häufigste Wert. Er ist der einzige der drei, der auch für Kategorien funktioniert, etwa für die häufigste Augenfarbe.
- Kann der Median ein Wert sein, der im Datensatz gar nicht vorkommt?
- Ja, immer wenn die Anzahl gerade ist, denn dann ist er der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.
Hast du gerade eine vor dir?
Markier die Aufgabe auf der Seite oder schnapp sie mit Cmd/Strg + Umschalt + S, und Solvecoon geht sie mit dir durch.
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