Среднее и медиана
Обе величины — меры центра, и на симметричных данных они совпадают. На скошенных данных они могут разойтись очень сильно, и неверный выбор — это как раз тот способ, которым формально правдивая статистика начинает вводить в заблуждение.
Как считается каждая
- Среднее: сложите все значения и разделите на их количество.
- Медиана: упорядочите значения и возьмите среднее по порядку.
- При чётном количестве медиана равна полусумме двух серединных значений.
Ключевое различие
Среднее учитывает каждое значение, поэтому одно крайнее значение тянет его за собой. Медиане важна только позиция, поэтому крайнее значение сдвигает её самое большее на одну позицию. Эту устойчивость называют робастностью, и она — вся причина, по которой существуют обе меры.
Что выбрать
- Симметричные данные без выбросов: среднее, ведь оно использует всю информацию.
- Скошенные данные вроде доходов или цен на жильё: медиана.
- Данные с известными ошибками или сильными выбросами: медиана.
- Когда нужны дальнейшие вычисления, например стандартное отклонение: среднее, потому что формулы построены на нём.
Разобранные примеры
Пример 1
Вопрос
Пять зарплат в тысячах: 30, 32, 35, 38, 250. Найдите среднее и медиану и скажите, что лучше описывает группу.
Ответ
Среднее 77, медиана 35. Честное описание — медиана.
Шаги
- 1Сумма: 30 + 32 + 35 + 38 + 250 = 385.
- 2Среднее: 385 / 5 = 77 тысяч.
- 3Данные уже упорядочены, а при пяти значениях серединное — третье: 35 тысяч.
- 4Четверо из пяти зарабатывают меньше среднего, значит оно не описывает никого из группы.
- 5Медиана 35 находится посреди того, что люди зарабатывают на самом деле, и здесь это честная сводка.
Именно поэтому статистику доходов публикуют в медианах. Одно очень большое значение утаскивает среднее туда, где никто не живёт.
Пример 2
Вопрос
Баллы за контрольную: 68, 71, 74, 77, 80. Найдите среднее и медиану.
Ответ
Обе равны 74
Шаги
- 1Сумма: 68 + 71 + 74 + 77 + 80 = 370.
- 2Среднее: 370 / 5 = 74.
- 3Уже упорядочены, значит медиана — третье значение: 74.
- 4Они совпадают, потому что данные симметричны и без выбросов.
- 5Когда среднее и медиана совпадают, любая из них — честная сводка.
Пример 3
Вопрос
Шесть сроков доставки в минутах: 20, 22, 25, 27, 30, 95. Найдите обе меры.
Ответ
Среднее 36,5, медиана 26
Шаги
- 1Сумма: 20 + 22 + 25 + 27 + 30 + 95 = 219.
- 2Среднее: 219 / 6 = 36,5 минуты.
- 3При шести значениях медиана — полусумма третьего и четвёртого: (25 + 27) / 2 = 26.
- 4Единственная доставка на 95 минут добавляет к среднему больше десяти минут, а к медиане две.
- 5Для типичного времени ожидания называйте 26 минут; для суммарных часов курьеров нужно среднее.
Частые ошибки
Искать медиану, не упорядочив данные.
Упорядочивайте каждый раз. Середина неупорядоченного списка — не медиана.
Взять одно серединное значение при чётном количестве.
Возьмите полусумму двух серединных. При шести элементах это третье и четвёртое.
Приводить среднее для скошенных данных вроде цен на жильё.
Берите медиану, когда несколько очень крупных значений уводят меру от типичного.
Считать, что медиана всегда лучше.
Среднее использует всю информацию и необходимо для дисперсии, стандартного отклонения и сумм.
Потренируйтесь
Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.
1. Найдите среднее и медиану набора 2, 3, 3, 4, 100.
Показать ответ
Среднее 22,4, медиана 3. Медиана описывает эти данные гораздо лучше.
2. Найдите медиану набора 5, 9, 2, 8.
Показать ответ
6,5. Упорядочьте в 2, 5, 8, 9 и возьмите полусумму двух серединных.
3. У набора данных среднее 50 и медиана 35. О чём это говорит?
Показать ответ
О правой скошенности: несколько крупных значений тянут среднее выше середины данных.
О чём спрашивают
- Какая из них настоящее среднее?
- Обе. «Среднее» в бытовом смысле — общее слово; среднее арифметическое и медиана — конкретные меры, и в условии должно быть сказано, какая нужна.
- Что значит, что среднее намного больше медианы?
- Данные скошены вправо, с хвостом крупных значений. Доходы, цены на жильё и время ожидания обычно выглядят именно так.
- А где здесь мода?
- Мода — самое частое значение. Это единственная из трёх мер, которая работает и для категорий, например для самого распространённого цвета глаз.
- Может ли медиана быть значением, которого нет в данных?
- Может, всякий раз при чётном количестве, потому что тогда это полусумма двух серединных значений.
Одна такая прямо перед вами?
Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.
Добавить в Chrome →Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.