Odchylenie standardowe, wyjaśnione
Odchylenie standardowe mierzy rozrzut: jak daleko od średniej zwykle leżą wartości w zbiorze danych. Dwa zbiory mogą mieć tę samą średnią i nie być do siebie podobne, a to właśnie ta liczba je rozróżnia.
Pięć kroków
- Znajdź średnią danych.
- Odejmij średnią od każdej wartości, otrzymując odchylenia.
- Podnieś każde odchylenie do kwadratu, co usuwa znaki ujemne.
- Uśrednij kwadraty odchyleń. To jest wariancja.
- Wyciągnij pierwiastek z wariancji, żeby wrócić do pierwotnych jednostek.
Próba czy populacja
Jeśli dane to cała grupa, która cię interesuje, dziel przez n. Jeśli to próba używana do oszacowania szerszej populacji, dziel przez n - 1. Dzielenie przez n - 1 nieco powiększa oszacowanie i koryguje znane obciążenie w małych próbach. Odczytanie z treści, z którym przypadkiem masz do czynienia, bywa warte więcej punktów niż same rachunki.
Co mówi ta liczba
Odchylenie bliskie zeru znaczy, że wartości ciasno skupiają się wokół średniej. Duże znaczy, że są rozproszone. Ponieważ ma te same jednostki co dane, odchylenie 2 cm da się bezpośrednio porównać z samymi pomiarami i dlatego w raportach woli się je od wariancji.
Rozpisane przykłady
Przykład 1
Pytanie
Znajdź odchylenie standardowe populacji: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Odpowiedź
2
Kroki
- 1Średnia: wartości sumują się do 40, a 40 / 8 = 5.
- 2Odchylenia: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
- 3Kwadraty: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, w sumie 32.
- 4Wariancja populacji: podziel przez n = 8, otrzymując 4.
- 5Odchylenie standardowe: pierwiastek z 4 to 2.
Przykład 2
Pytanie
Znajdź odchylenie standardowe próby: 4, 8, 6, 5, 3
Odpowiedź
Około 1,92
Kroki
- 1Średnia: wartości sumują się do 26, a 26 / 5 = 5,2.
- 2Odchylenia: -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
- 3Kwadraty: 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, w sumie 14,8.
- 4Wariancja próby: podziel przez n - 1 = 4, otrzymując 3,7.
- 5Odchylenie standardowe: pierwiastek z 3,7 to około 1,92.
Dzielenie tu przez 5 zamiast przez 4 dałoby 1,72. Różnica liczy się najbardziej w małych próbach, a właśnie o to pytają egzaminy.
Przykład 3
Pytanie
Dwie klasy mają średnią 70. Klasa A ma odchylenie standardowe 3, klasa B ma 15. Co to mówi?
Odpowiedź
Klasa A jest wyrównana; w klasie B są wyniki i o wiele lepsze, i o wiele słabsze.
Kroki
- 1Średnia nie mówi nic o rozrzucie, więc identyczne średnie mogą ukrywać bardzo różne rozkłady.
- 2Odchylenie 3 znaczy, że większość klasy A napisała mniej więcej między 67 a 73.
- 3Odchylenie 15 znaczy, że klasa B rozciąga się zwykle od około 55 do 85.
- 4Zatem w klasie B są uczniowie potrzebujący bardzo różnego wsparcia, mimo identycznej średniej.
- 5Dlatego podawanie średniej bez miary rozrzutu wprowadza w błąd.
Częste błędy
Dzielenie przez n, gdy dane opisano jako próbę.
Dla próby dzieli się przez n - 1. Szukaj w treści słów próba, badanie albo wylosowane.
Zapomnienie o końcowym pierwiastku i podanie wariancji.
Wariancja ma jednostki podniesione do kwadratu. Odchylenie standardowe to jej pierwiastek, w pierwotnych jednostkach.
Dodawanie odchyleń bez podnoszenia ich do kwadratu.
Zawsze sumują się do zera i właśnie dlatego najpierw się je podnosi do kwadratu.
Wczesne zaokrąglenie średniej i przeniesienie błędu na wszystkie odchylenia.
Trzymaj średnią dokładną aż do końcowej odpowiedzi, a potem zaokrąglij raz.
Poćwicz
Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.
1. Znajdź odchylenie standardowe populacji 10, 12, 14.
Pokaż odpowiedź
Około 1,63. Średnia to 12, kwadraty odchyleń sumują się do 8, a 8 / 3 = 2,67.
2. Znajdź odchylenie standardowe próby dla tych samych danych: 10, 12, 14.
Pokaż odpowiedź
2. Kwadraty odchyleń nadal sumują się do 8, ale dzielenie przez n - 1 = 2 daje wariancję 4.
3. Zbiór danych ma wariancję 49. Jakie jest jego odchylenie standardowe?
Pokaż odpowiedź
7. Wyciągnij pierwiastek z wariancji.
O co ludzie pytają
- Po co w ogóle podnosić odchylenia do kwadratu?
- Bo inaczej sumują się do zera. Kwadrat usuwa znaki i jednocześnie mocniej waży większe odstępstwa.
- Dlaczego dla próby dzielimy przez n - 1?
- Bo własna średnia próby leży bliżej jej danych niż prawdziwa średnia populacji, co zaniża rozrzut. Dzielenie przez n - 1 koryguje to obciążenie.
- Czy wysokie odchylenie standardowe jest złe?
- Samo w sobie nie jest ani dobre, ani złe. Jest złe dla tolerancji produkcyjnej i neutralne dla wyników egzaminu, więc decyduje kontekst.
- Jaki ma związek z rozkładem normalnym?
- Dla danych o rozkładzie normalnym około 68 % wartości leży w odległości jednego odchylenia od średniej, a około 95 % w odległości dwóch.
Masz jedno przed sobą?
Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.
Dodaj do Chrome →Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.