O desvio padrão, explicado
O desvio padrão mede a dispersão: a que distância da média costumam estar os valores de um conjunto de dados. Dois conjuntos podem partilhar a média e não se parecer em nada, e é este número que os distingue.
Os cinco passos
- Determine a média dos dados.
- Subtraia a média a cada valor para obter os desvios.
- Eleve cada desvio ao quadrado, o que elimina os sinais negativos.
- Faça a média dos desvios ao quadrado. É a variância.
- Extraia a raiz quadrada da variância para regressar às unidades iniciais.
Amostra ou população
Se os dados são o grupo inteiro que lhe interessa, divida por n. Se são uma amostra usada para estimar uma população mais alargada, divida por n - 1. Dividir por n - 1 torna a estimativa ligeiramente maior, corrigindo um enviesamento conhecido em amostras pequenas. Ler o enunciado para perceber em que caso está vale mais cotação do que as contas.
O que o número indica
Um desvio padrão próximo de zero significa que os valores se concentram junto da média. Um desvio grande significa que estão dispersos. Como vem nas mesmas unidades dos dados, um desvio padrão de 2 cm é directamente comparável com as próprias medições, e é por isso que se prefere à variância nos relatórios.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Pergunta
Determine o desvio padrão da população: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Resposta
2
Passos
- 1Média: os valores somam 40, e 40 / 8 = 5.
- 2Desvios: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4.
- 3Quadrados: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, que somam 32.
- 4Variância da população: divida por n = 8, obtendo 4.
- 5Desvio padrão: a raiz quadrada de 4 é 2.
Exemplo 2
Pergunta
Determine o desvio padrão da amostra: 4, 8, 6, 5, 3
Resposta
Cerca de 1,92
Passos
- 1Média: os valores somam 26, e 26 / 5 = 5,2.
- 2Desvios: -1,2, 2,8, 0,8, -0,2, -2,2.
- 3Quadrados: 1,44, 7,84, 0,64, 0,04, 4,84, que somam 14,8.
- 4Variância da amostra: divida por n - 1 = 4, obtendo 3,7.
- 5Desvio padrão: a raiz quadrada de 3,7 é cerca de 1,92.
Dividir aqui por 5 em vez de 4 daria 1,72. A diferença conta sobretudo em amostras pequenas, que é exactamente quando os exames perguntam.
Exemplo 3
Pergunta
Duas turmas têm ambas média 70. A turma A tem desvio padrão 3 e a turma B tem 15. O que é que isso indica?
Resposta
A turma A é homogénea; a turma B tem resultados bastante melhores e bastante mais fracos.
Passos
- 1A média nada diz sobre a dispersão, portanto médias idênticas podem esconder distribuições muito diferentes.
- 2Um desvio padrão de 3 significa que quase toda a turma A ficou grosso modo entre 67 e 73.
- 3Um desvio padrão de 15 significa que a turma B varia tipicamente entre cerca de 55 e 85.
- 4Ou seja, a turma B tem alunos que precisam de apoios muito diferentes, apesar da média idêntica.
- 5É por isto que apresentar uma média sem uma medida de dispersão é enganador.
Erros comuns
Dividir por n quando os dados são descritos como uma amostra.
As amostras dividem-se por n - 1. Procure as palavras amostra, inquérito ou seleccionados no enunciado.
Esquecer a raiz quadrada final e apresentar a variância.
A variância vem em unidades ao quadrado. O desvio padrão é a sua raiz, nas unidades iniciais.
Somar os desvios sem os elevar ao quadrado.
Somam sempre zero, e é por isso que se eleva ao quadrado primeiro.
Arredondar a média cedo e arrastar o erro por todos os desvios.
Mantenha a média exacta até à resposta final e arredonde uma única vez.
Pratica
Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.
1. Determine o desvio padrão da população 10, 12, 14.
Ver a resposta
Cerca de 1,63. A média é 12, os desvios ao quadrado somam 8, e 8 / 3 = 2,67.
2. Determine o desvio padrão da amostra para os mesmos dados: 10, 12, 14.
Ver a resposta
2. Os desvios ao quadrado continuam a somar 8, mas dividir por n - 1 = 2 dá uma variância de 4.
3. Um conjunto de dados tem variância 49. Qual é o seu desvio padrão?
Ver a resposta
7. Extraia a raiz quadrada da variância.
O que as pessoas perguntam
- Porquê elevar os desvios ao quadrado?
- Porque de outro modo somam zero. O quadrado elimina os sinais e ao mesmo tempo pesa mais os afastamentos grandes.
- Porquê dividir por n - 1 numa amostra?
- Porque a média da própria amostra fica mais perto dos seus dados do que a verdadeira média da população, o que subestima a dispersão. Dividir por n - 1 corrige esse enviesamento.
- Um desvio padrão elevado é mau?
- Por si só não é bom nem mau. É mau para uma tolerância de fabrico e neutro para notas de exame, portanto é o contexto que decide.
- Qual é a relação com a distribuição normal?
- Em dados com distribuição normal, cerca de 68 % dos valores ficam a um desvio padrão da média e cerca de 95 % a dois.
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