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Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Eine Gleichung mit x auf beiden Seiten ist keine neue Art von Aufgabe. Es ist eine gewöhnliche Gleichung mit einem zusätzlichen Zug am Anfang: hol jeden x-Term auf eine Seite, und du bist zurück bei etwas, das du schon zu Ende rechnen kannst.

Die Methode

  • Löse zuerst alle Klammern auf und multipliziere sorgfältig aus, inklusive Vorzeichen.
  • Bring die Variablenterme auf eine Seite, indem du auf beiden Seiten denselben Term addierst oder subtrahierst.
  • Bring die Konstanten auf dieselbe Weise auf die andere Seite.
  • Teile durch den Koeffizienten der Variablen.
  • Setze zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.

Auf welche Seite sollen die Variablen?

Auf die, bei der der Koeffizient positiv bleibt. Bei 4x = 15x - 4 ergibt das Verschieben von 4x nach rechts 11x statt -11x, also ein Vorzeichen weniger im Blick zu behalten. Es ist nicht Pflicht, es macht die Rechnung nur ruhiger.

Warum die Probe hier zählt

In diesem Thema entstehen Vorzeichenfehler, und ein Vorzeichenfehler erzeugt eine Antwort, die völlig plausibel aussieht. Das Einsetzen ist der einzige Schritt, der ihn aufdeckt, und er dauert zehn Sekunden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Frage

Löse: 5x + 7 = 2x + 19

Antwort

x = 4

Schritte

  1. 1Auf beiden Seiten 2x abziehen, um die Variablen zu sammeln: 3x + 7 = 19.
  2. 2Auf beiden Seiten 7 abziehen: 3x = 12.
  3. 3Beide Seiten durch 3 teilen: x = 4.
  4. 4Probe: 5(4) + 7 = 27, und 2(4) + 19 = 27. Beide Seiten stimmen überein.

Beispiel 2

Frage

Löse: 4x = 15x - 4

Antwort

x = 4/11

Schritte

  1. 1Die 4x nach rechts bringen, damit der Koeffizient positiv bleibt: 0 = 11x - 4.
  2. 2Auf beiden Seiten 4 addieren: 4 = 11x.
  3. 3Durch 11 teilen: x = 4/11.
  4. 4Probe: 4(4/11) = 16/11, und 15(4/11) - 4 = 60/11 - 44/11 = 16/11. Beide Seiten stimmen überein.

Eine gebrochene Lösung ist kein Zeichen für einen Fehler. Lass sie als Bruch stehen, außer die Aufgabe verlangt eine Dezimalzahl.

Beispiel 3

Frage

Löse: 8 - 3x = 4x + 22

Antwort

x = -2

Schritte

  1. 1Auf beiden Seiten 3x addieren, um den Variablenterm zu verschieben: 8 = 7x + 22.
  2. 2Auf beiden Seiten 22 abziehen: -14 = 7x.
  3. 3Durch 7 teilen: x = -2.
  4. 4Probe: 8 - 3(-2) = 8 + 6 = 14, und 4(-2) + 22 = -8 + 22 = 14. Beide Seiten stimmen überein.

Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist hier die Falle. 8 - 3(-2) ist 8 + 6, nicht 8 - 6.

Typische Fehler

Einen Term hinüberschieben, ohne das Vorzeichen zu ändern: aus 5x + 7 = 2x + 19 wird 3x + 7 = 19 + 2x.

Was du auf einer Seite tust, tust du auf der anderen. 2x abzuziehen entfernt es links und rechts.

Nur in den ersten Term ausmultiplizieren: aus 3(x - 4) wird 3x - 4.

Der Faktor trifft jeden Term in der Klammer: 3x - 12.

Am Ende nur den Variablenterm teilen und aus 3x = 12 die Lösung x = 12 machen.

Teile beide Seiten durch 3. Die rechte Seite wird zu 4.

Bei -14 = 7x aufhören und -14 als Antwort lesen.

Führ die Division zu Ende. x = -2, und die Probe bestätigt es.

Selbst üben

Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.

  • 1. Löse: 6x - 5 = 2x + 11

    Antwort zeigen

    x = 4. Zieh 2x ab und du erhältst 4x - 5 = 11, dann addiere 5 und teile.

  • 2. Löse: 9 - 2x = 5x - 12

    Antwort zeigen

    x = 3. Addiere auf beiden Seiten 2x und du erhältst 9 = 7x - 12, dann addiere 12.

  • 3. Löse: 3(x + 2) = x - 4

    Antwort zeigen

    x = -5. Erst ausmultiplizieren: 3x + 6 = x - 4, also 2x = -10.

Was oft gefragt wird

Kann ich die Variablen statt nach links nach rechts bringen?
Ja. Die Antwort ist dieselbe. Wähl die Seite, die dir einen positiven Koeffizienten lässt, denn das sind weniger Vorzeichen im Blick.
Was, wenn sich die Variablen ganz wegheben?
Bleibt etwas Wahres wie 5 = 5, funktioniert jeder Wert von x. Bleibt etwas Falsches wie 5 = 7, gibt es keine Lösung. Beides sind legitime Antworten.
Muss ich meine Antwort prüfen?
Die Prüfung gibt nicht immer einen Punkt dafür, aber sie fängt den Vorzeichenfehler ab, der dich die ganze Aufgabe kosten würde. Zehn Sekunden sind ein guter Tausch.
Was, wenn in den Koeffizienten Brüche stehen?
Multipliziere zuerst jeden Term auf beiden Seiten mit dem Hauptnenner. Das räumt die Brüche weg und lässt eine gewöhnliche Gleichung übrig.
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