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Wie man quadratische Gleichungen faktorisiert

Faktorisieren macht aus einer quadratischen Gleichung ein Produkt zweier Klammern, und ein Produkt ist nur dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Genau diese Tatsache ist der Grund, warum Faktorisieren Gleichungen überhaupt löst.

Wenn der Leitkoeffizient 1 ist

  • Für x^2 + bx + c suchst du zwei Zahlen, deren Produkt c und deren Summe b ist.
  • Diese beiden Zahlen kommen direkt in die Klammern: (x + p)(x + q).
  • Setze jede Klammer gleich null und löse.

Wenn er nicht 1 ist

Für ax^2 + bx + c suchst du zwei Zahlen, deren Produkt a mal c und deren Summe b ist. Spalte den mittleren Term mit diesen beiden Zahlen auf und klammere die vier Terme paarweise aus. Diese Methode funktioniert immer und braucht nie Raten.

Muster, die man kennen sollte

  • Differenz von Quadraten: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
  • Vollständiges Quadrat: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
  • Gemeinsamen Faktor zuerst: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), vor allem anderen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Frage

Faktorisiere und löse: x^2 + 7x + 12 = 0

Antwort

x = -3 oder x = -4

Schritte

  1. 1Der Leitkoeffizient ist 1, also zwei Zahlen mit Produkt 12 und Summe 7 suchen.
  2. 2Das sind 3 und 4.
  3. 3Also x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
  4. 4Jeden Faktor null setzen: x + 3 = 0 gibt x = -3, und x + 4 = 0 gibt x = -4.
  5. 5Probe: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Beispiel 2

Frage

Faktorisiere und löse: x^2 - 5x - 14 = 0

Antwort

x = 7 oder x = -2

Schritte

  1. 1Zwei Zahlen mit Produkt -14 und Summe -5.
  2. 2Das Produkt ist negativ, also haben die Zahlen verschiedene Vorzeichen: -7 und 2.
  3. 3Also x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
  4. 4Lösungen: x = 7 und x = -2.
  5. 5Probe: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Ein negatives absolutes Glied bedeutet immer, dass die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. Das halbiert die Liste, die du durchsuchen musst.

Beispiel 3

Frage

Faktorisiere und löse: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Antwort

x = 1/2 oder x = -3

Schritte

  1. 1Der Leitkoeffizient ist nicht 1, also a mal c nutzen: 2 x (-3) = -6.
  2. 2Zwei Zahlen mit Produkt -6 und Summe 5 finden: es sind 6 und -1.
  3. 3Mittleren Term aufspalten: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
  4. 4Paarweise ausklammern: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
  5. 5Gemeinsame Klammer ausklammern: (2x - 1)(x + 3) = 0.
  6. 6Lösungen: 2x - 1 = 0 gibt x = 1/2, und x + 3 = 0 gibt x = -3.

Typische Fehler

Richtig faktorisieren und dann vergessen, jede Klammer null zu setzen.

Die faktorisierte Form ist nicht die Antwort auf eine Gleichung. (x + 3)(x + 4) = 0 muss noch gelöst werden.

Zahlen suchen, die addiert c und multipliziert b ergeben.

Multipliziert c, addiert b. Das zu vertauschen ist der mit Abstand häufigste Ausrutscher.

Einen gemeinsamen Faktor übersehen: 2x^2 + 10x + 12 faktorisieren, ohne die 2 vorher auszuklammern.

Prüf immer zuerst auf einen gemeinsamen Faktor. Er macht alles Folgende leichter.

Annehmen, jede quadratische Gleichung faktorisiere sauber.

Prüf die Diskriminante b^2 - 4ac. Ist sie keine Quadratzahl, nimm die Lösungsformel, statt nach Faktoren zu jagen, die es nicht gibt.

Selbst üben

Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.

  • 1. Faktorisiere und löse: x^2 + 9x + 20 = 0

    Antwort zeigen

    (x + 4)(x + 5) = 0, also x = -4 oder x = -5.

  • 2. Faktorisiere und löse: x^2 - 36 = 0

    Antwort zeigen

    Differenz von Quadraten: (x - 6)(x + 6) = 0, also x = 6 oder x = -6.

  • 3. Faktorisiere und löse: 3x^2 - 10x + 8 = 0

    Antwort zeigen

    a x c = 24, und -6 und -4 ergeben addiert -10. Das gibt (3x - 4)(x - 2) = 0, also x = 4/3 oder x = 2.

Was oft gefragt wird

Woran erkenne ich, ob sich eine quadratische Gleichung faktorisieren lässt?
Rechne die Diskriminante b^2 - 4ac aus. Ist sie eine Quadratzahl, faktorisiert die Gleichung über den ganzen Zahlen. Ist sie es nicht, verschwende keine Zeit mit Suchen.
Ist Faktorisieren schneller als die Lösungsformel?
Wenn es klappt, ja, deutlich. Wenn nicht, ist es schlechter als nutzlos, weil du die Zeit verbrauchst und die Formel trotzdem brauchst.
Warum funktioniert es, jeden Faktor null zu setzen?
Weil ein Produkt zweier Zahlen nur dann null ist, wenn mindestens eine von ihnen null ist. Das ist der Satz vom Nullprodukt, und er ist der ganze Grund, warum wir faktorisieren.
Was, wenn es kein absolutes Glied gibt?
Klammer das x aus: x^2 - 5x = x(x - 5), also x = 0 oder x = 5. Stattdessen beide Seiten durch x zu teilen verliert die Lösung x = 0.
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