二次方程式の因数分解のしかた

因数分解は二次式を2つのかっこの積に変えます。そして積が0になるのは、因数のどれかが0のときだけです。この一点こそが、因数分解で方程式が解ける理由です。

最高次の係数が1のとき

x^2 + bx + c では、積が c、和が b になる2つの数を探す。
その2つの数をそのままかっこに入れる: (x + p)(x + q)。
各かっこを0とおいて解く。

1でないとき

ax^2 + bx + c では、積が a と c の積、和が b になる2つの数を探します。その2つの数で真ん中の項を分け、4つの項を2つずつ組にして因数分解します。この方法はいつでも通用し、当てずっぽうを必要としません。

覚えておきたい形

平方の差: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)。
完全平方: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2。
まず共通因数: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4)、何よりも先に。

解いてみる例

例 1

問題

因数分解して解きなさい: x^2 + 7x + 12 = 0

答え

x = -3 または x = -4

手順

1最高次の係数が1なので、積が12、和が7の2つの数を探す。
2それは3と4。
3よって x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)。
4各因数を0とおく: x + 3 = 0 から x = -3、x + 4 = 0 から x = -4。
5確認: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0。

例 2

問題

因数分解して解きなさい: x^2 - 5x - 14 = 0

答え

x = 7 または x = -2

手順

1積が -14、和が -5 の2つの数。
2積が負なので2数の符号は逆: -7 と 2。
3よって x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)。
4解: x = 7 と x = -2。
5確認: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0。

定数項が負なら、2つの数の符号は必ず逆です。それだけで探す候補が半分になります。

例 3

問題

因数分解して解きなさい: 2x^2 + 5x - 3 = 0

答え

x = 1/2 または x = -3

手順

1最高次の係数が1でないので a と c の積を使う: 2 x (-3) = -6。
2積が -6、和が 5 の2つの数を探す: 6 と -1。
3真ん中の項を分ける: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0。
42項ずつ組にして因数分解: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0。
5共通のかっこをくくり出す: (2x - 1)(x + 3) = 0。
6解: 2x - 1 = 0 から x = 1/2、x + 3 = 0 から x = -3。

よくあるつまずき

正しく因数分解したのに、各かっこを0とおくのを忘れる。

因数分解した形は方程式の答えではありません。(x + 3)(x + 4) = 0 はまだ解く必要があります。

和が c、積が b になる数を探す。

積が c、和が b です。取り違えるのが最も多い凡ミスです。

共通因数を見落とす。2x^2 + 10x + 12 を、先に2をくくり出さずに因数分解する。

何よりも先に共通因数を確認します。そのあとがすべて楽になります。

どんな二次式もきれいに因数分解できると思い込む。

判別式 b^2 - 4ac を見ます。完全平方でなければ、存在しない因数を探さずに解の公式を使いましょう。

練習する

まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。

1. 因数分解して解きなさい: x^2 + 9x + 20 = 0
答えを見る
(x + 4)(x + 5) = 0 なので x = -4 または x = -5。
2. 因数分解して解きなさい: x^2 - 36 = 0
答えを見る
平方の差: (x - 6)(x + 6) = 0 なので x = 6 または x = -6。
3. 因数分解して解きなさい: 3x^2 - 10x + 8 = 0
答えを見る
a と c の積は24で、-6 と -4 の和が -10。よって (3x - 4)(x - 2) = 0 となり x = 4/3 または x = 2。

よく聞かれること

その二次式が因数分解できるかどうか、どう見分けますか。: 判別式 b^2 - 4ac を計算します。完全平方なら整数の範囲で因数分解できます。そうでなければ探すだけ無駄です。
因数分解は解の公式より速いですか。: うまくいくときはかなり速いです。うまくいかないときは、時間を使ったうえで結局公式を使うので、無駄以下です。
各因数を0とおくとなぜ解けるのですか。: 2つの数の積が0になるのは、少なくとも一方が0のときだけだからです。これが零因子の性質で、因数分解する理由のすべてです。
定数項がないときは。: x をくくり出します: x^2 - 5x = x(x - 5) なので x = 0 または x = 5。両辺を x で割ると x = 0 の解を失います。

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いま目の前にありますか？

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