二次方程式の解の公式、解説
解の公式は、因数分解できないものも含めてすべての二次方程式を解きます。先に判別式を読めばどんな答えになるか予想がつき、計算ミスが誤答になる前に捕まえられます。
公式
ax^2 + bx + c = 0 の形のどんな方程式でも、解は x = (-b プラスマイナス (b^2 - 4ac) の平方根) をすべて 2a で割ったものです。まず、すべてを一方に集めて他方を0にした標準形に書き直します。
先に判別式を読む
- b^2 - 4ac が0より大きい: 相異なる2つの実数解。
- b^2 - 4ac が0に等しい: 重解となる実数解が1つ。
- b^2 - 4ac が0より小さい: 実数解なし。
- 判別式が完全平方なら、その二次式は因数分解もできたということです。
a、b、c を見きわめる
符号は係数のものです。x^2 - 4x + 1 では b は 4 ではなく -4 です。代入する前に a、b、c をはっきり書き出す習慣が、この公式でのミスのほとんどを防ぎます。
解いてみる例
例 1
問題
解きなさい: 2x^2 + 3x - 5 = 0
答え
x = 1 または x = -5/2
手順
- 1見きわめる: a = 2、b = 3、c = -5。
- 2判別式: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49。完全平方なので、きれいな答えが2つ出ると予想できる。
- 349 の平方根は 7。
- 4代入: x = (-3 プラスマイナス 7) / (2 x 2) = (-3 プラスマイナス 7) / 4。
- 51つめの解: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1。
- 62つめの解: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2。
判別式が完全平方ということは、これは (2x + 5)(x - 1) = 0 と因数分解できます。どちらの道でも同じ答えになります。
例 2
問題
解きなさい: x^2 - 4x + 1 = 0
答え
x = 2 + ルート3 または x = 2 - ルート3
手順
- 1見きわめる: a = 1、b = -4、c = 1。b が負であることに注意。
- 2判別式: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12。正だが完全平方ではないので、解は無理数。
- 3代入: x = (4 プラスマイナス ルート12) / 2。
- 4根号を簡単にする: ルート12 = 2 ルート3。
- 5よって x = (4 プラスマイナス 2 ルート3) / 2 = 2 プラスマイナス ルート3。
最後にすべての項を2で割ることは必須です。4だけを約分してルート12を2で割ったまま残すのは、よくある中途半端な簡約です。
例 3
問題
解きなさい: x^2 + 2x + 5 = 0
答え
実数解なし
手順
- 1見きわめる: a = 1、b = 2、c = 5。
- 2判別式: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16。
- 3判別式が負なので、平方根に実数の値はない。
- 4したがってこの方程式に実数解はなく、放物線は x 軸と交わりません。
- 5複素数を扱う課程なら、解は x = -1 プラスマイナス 2i です。
よくあるつまずき
b の符号を落とす。x^2 - 4x + 1 で b = 4 としてしまう。
b は -4 です。何かを代入する前に a、b、c を符号つきで書き出しましょう。
分子の一部だけを 2a で割る。
分子は全体が割られます。最後の段階まで1本の分数線の上にまとめておきましょう。
標準形に直す前に公式を使う。
すべてを一方に、他方を0に。そのうえで a、b、c を見きわめます。
判別式が負なのを間違いとして報告する。
それが答えです。複素数解が求められる課程でない限り、実数解なしは完結した答えです。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. 解きなさい: x^2 - 7x + 10 = 0
答えを見る
判別式は9なので x = (7 プラスマイナス 3)/2 となり、x = 5 または x = 2。
2. 解きなさい: 3x^2 + 2x - 1 = 0
答えを見る
判別式は16なので x = (-2 プラスマイナス 4)/6 となり、x = 1/3 または x = -1。
3. 解きなさい: 4x^2 - 4x + 1 = 0
答えを見る
判別式は0なので重解が1つ: x = 1/2。
よく聞かれること
- 因数分解ではなく公式を使うべきなのはいつですか。
- 判別式が完全平方でないとき、あるいは因数を探して20秒ほど過ぎたときはいつでもです。
- 公式はいつでも使えますか。
- どんな二次方程式にも使えます。因数分解は一部にしか使えません。この確実さこそ、公式を覚える価値です。
- 判別式はグラフでは何を意味しますか。
- 放物線が x 軸と交わる回数を表します。2回、1回だけ接する、あるいはまったく交わらない、のいずれかです。
- 根号のままにすべきか、小数に直すべきか。
- 小数で答えよという指示がなければ厳密な形のままにします。2 + ルート3 は厳密で、3.73 は四捨五入した値です。
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