Wzory na pierwiastki, wyjaśnione
Wzory na pierwiastki rozwiązują każde równanie kwadratowe, także te, których nie da się rozłożyć na czynniki. Odczytanie najpierw wyróżnika mówi, jakiej odpowiedzi się spodziewać, i dzięki temu wyłapiesz błąd rachunkowy, zanim stanie się błędnym wynikiem.
Wzór
Dla każdego równania postaci ax^2 + bx + c = 0 rozwiązania to x = (-b plus minus pierwiastek z (b^2 - 4ac)) podzielone przez 2a. Najpierw zapisz równanie w tej postaci ogólnej, ze wszystkim po jednej stronie i zerem po drugiej.
Najpierw odczytaj wyróżnik
- b^2 - 4ac większy od zera: dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
- b^2 - 4ac równy zeru: jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty.
- b^2 - 4ac mniejszy od zera: brak rozwiązań rzeczywistych.
- Wyróżnik będący kwadratem liczby całkowitej oznacza, że trójmian dałby się też rozłożyć na czynniki.
Rozpoznanie a, b i c
Znaki należą do współczynników. W x^2 - 4x + 1 mamy b = -4, a nie 4. Wypisanie a, b i c wprost przed podstawieniem to nawyk, który zapobiega większości błędów przy tym wzorze.
Rozpisane przykłady
Przykład 1
Pytanie
Rozwiąż: 2x^2 + 3x - 5 = 0
Odpowiedź
x = 1 albo x = -5/2
Kroki
- 1Rozpoznaj: a = 2, b = 3, c = -5.
- 2Wyróżnik: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, kwadrat liczby całkowitej, więc spodziewaj się dwóch ładnych wyników.
- 3Pierwiastek z 49 to 7.
- 4Podstaw: x = (-3 plus minus 7) / (2 x 2) = (-3 plus minus 7) / 4.
- 5Pierwszy pierwiastek: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
- 6Drugi pierwiastek: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.
Wyróżnik będący kwadratem oznacza, że to równanie rozkłada się jako (2x + 5)(x - 1) = 0. Obie drogi dają te same wyniki.
Przykład 2
Pytanie
Rozwiąż: x^2 - 4x + 1 = 0
Odpowiedź
x = 2 + pierwiastek z 3 albo x = 2 - pierwiastek z 3
Kroki
- 1Rozpoznaj: a = 1, b = -4, c = 1. Zwróć uwagę, że b jest ujemne.
- 2Wyróżnik: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Dodatni, ale nie kwadrat liczby całkowitej, więc pierwiastki są niewymierne.
- 3Podstaw: x = (4 plus minus pierwiastek z 12) / 2.
- 4Uprość pierwiastek: pierwiastek z 12 = 2 pierwiastki z 3.
- 5Zatem x = (4 plus minus 2 pierwiastki z 3) / 2 = 2 plus minus pierwiastek z 3.
Podzielenie na końcu każdego wyrazu przez 2 jest konieczne. Skrócenie samej czwórki i zostawienie pierwiastka z 12 przez 2 to bardzo częste uproszczenie w połowie drogi.
Przykład 3
Pytanie
Rozwiąż: x^2 + 2x + 5 = 0
Odpowiedź
Brak rozwiązań rzeczywistych
Kroki
- 1Rozpoznaj: a = 1, b = 2, c = 5.
- 2Wyróżnik: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
- 3Wyróżnik jest ujemny, więc pierwiastek nie ma wartości rzeczywistej.
- 4Zatem równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, a parabola nie przecina osi x.
- 5Jeśli program obejmuje liczby zespolone, rozwiązania to x = -1 plus minus 2i.
Częste błędy
Zgubienie znaku b: przyjęcie b = 4 dla x^2 - 4x + 1.
b wynosi -4. Wypisz a, b i c ze znakami, zanim cokolwiek podstawisz.
Podzielenie przez 2a tylko części licznika.
Dzieli się cały licznik. Trzymaj go nad jedną kreską ułamkową aż do ostatniego kroku.
Użycie wzoru przed doprowadzeniem do postaci ogólnej.
Wszystko po jednej stronie, zero po drugiej, a potem rozpoznaj a, b i c.
Zgłaszanie ujemnego wyróżnika jako błędu.
To jest odpowiedź. Brak rozwiązań rzeczywistych to pełna odpowiedź, chyba że program oczekuje pierwiastków zespolonych.
Poćwicz
Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.
1. Rozwiąż: x^2 - 7x + 10 = 0
Pokaż odpowiedź
Wyróżnik 9, więc x = (7 plus minus 3)/2, czyli x = 5 albo x = 2.
2. Rozwiąż: 3x^2 + 2x - 1 = 0
Pokaż odpowiedź
Wyróżnik 16, więc x = (-2 plus minus 4)/6, czyli x = 1/3 albo x = -1.
3. Rozwiąż: 4x^2 - 4x + 1 = 0
Pokaż odpowiedź
Wyróżnik 0, więc jeden podwójny pierwiastek: x = 1/2.
O co ludzie pytają
- Kiedy używać wzoru zamiast rozkładu na czynniki?
- Zawsze, gdy wyróżnik nie jest kwadratem liczby całkowitej, albo gdy szukasz czynników dłużej niż jakieś dwadzieścia sekund.
- Czy wzór zawsze działa?
- Dla każdego równania kwadratowego tak. Rozkład na czynniki działa tylko dla niektórych. Ta niezawodność sprawia, że wzór warto znać na pamięć.
- Co wyróżnik znaczy na wykresie?
- Zlicza, ile razy parabola przecina oś x: dwa razy, raz stycznie, albo wcale.
- Zostawiać pierwiastki czy zamieniać na ułamki dziesiętne?
- Zostaw postać dokładną, chyba że zadanie prosi o wartość dziesiętną. 2 plus pierwiastek z 3 jest dokładne; 3,73 jest zaokrąglone.
Masz jedno przed sobą?
Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.
Dodaj do Chrome →Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.