A fórmula de Bhaskara, explicada
A fórmula resolve toda equação do segundo grau, inclusive as que não fatoram. Ler o discriminante primeiro diz que tipo de resposta esperar, e é assim que você pega um deslize de conta antes que ele vire resposta errada.
A fórmula
Para qualquer equação da forma ax^2 + bx + c = 0, as soluções são x = (-b mais ou menos a raiz quadrada de (b^2 - 4ac)) tudo dividido por 2a. Escreva a equação nessa forma padrão primeiro, com tudo de um lado e zero do outro.
Leia o discriminante primeiro
- b^2 - 4ac maior que zero: duas soluções reais distintas.
- b^2 - 4ac igual a zero: uma solução real dupla.
- b^2 - 4ac menor que zero: nenhuma solução real.
- Um discriminante que é quadrado perfeito significa que o trinômio também teria fatorado.
Identificar a, b e c
Os sinais pertencem aos coeficientes. Em x^2 - 4x + 1, b é -4, não 4. Escrever a, b e c explicitamente antes de substituir é o hábito que evita a maioria dos erros com essa fórmula.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Questão
Resolva: 2x^2 + 3x - 5 = 0
Resposta
x = 1 ou x = -5/2
Passos
- 1Identifique: a = 2, b = 3, c = -5.
- 2Discriminante: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, um quadrado perfeito, então espere duas respostas limpas.
- 3A raiz quadrada de 49 é 7.
- 4Substitua: x = (-3 mais ou menos 7) / (2 x 2) = (-3 mais ou menos 7) / 4.
- 5Primeira raiz: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
- 6Segunda raiz: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.
Discriminante quadrado perfeito significa que essa fatora como (2x + 5)(x - 1) = 0. Os dois caminhos dão as mesmas respostas.
Exemplo 2
Questão
Resolva: x^2 - 4x + 1 = 0
Resposta
x = 2 + raiz de 3 ou x = 2 - raiz de 3
Passos
- 1Identifique: a = 1, b = -4, c = 1. Repare que b é negativo.
- 2Discriminante: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Positivo, mas não quadrado perfeito, então as raízes são irracionais.
- 3Substitua: x = (4 mais ou menos raiz de 12) / 2.
- 4Simplifique o radical: raiz de 12 = 2 raiz de 3.
- 5Logo x = (4 mais ou menos 2 raiz de 3) / 2 = 2 mais ou menos raiz de 3.
Dividir todos os termos por 2 no fim é obrigatório. Cancelar só o 4 e deixar raiz de 12 sobre 2 é uma simplificação pela metade bem comum.
Exemplo 3
Questão
Resolva: x^2 + 2x + 5 = 0
Resposta
Nenhuma solução real
Passos
- 1Identifique: a = 1, b = 2, c = 5.
- 2Discriminante: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
- 3O discriminante é negativo, então a raiz quadrada não tem valor real.
- 4Portanto a equação não tem soluções reais, e a parábola nunca cruza o eixo x.
- 5Se o seu curso cobre números complexos, as soluções são x = -1 mais ou menos 2i.
Erros comuns
Perder o sinal de b: usar b = 4 em x^2 - 4x + 1.
b é -4. Escreva a, b e c com os sinais antes de substituir qualquer coisa.
Dividir só parte do numerador por 2a.
O numerador inteiro é dividido. Mantenha tudo sobre uma única barra de fração até o último passo.
Usar a fórmula antes de arrumar na forma padrão.
Tudo de um lado, zero do outro, e aí identifique a, b e c.
Tratar discriminante negativo como erro.
É uma resposta. Nenhuma solução real é resposta completa, a menos que o curso espere raízes complexas.
Pratique
Resolva primeiro, depois abra a resposta. Travou no meio? Selecione o problema e peça ao Solvecoon o passo que está faltando.
1. Resolva: x^2 - 7x + 10 = 0
Ver a resposta
Discriminante 9, então x = (7 mais ou menos 3)/2, dando x = 5 ou x = 2.
2. Resolva: 3x^2 + 2x - 1 = 0
Ver a resposta
Discriminante 16, então x = (-2 mais ou menos 4)/6, dando x = 1/3 ou x = -1.
3. Resolva: 4x^2 - 4x + 1 = 0
Ver a resposta
Discriminante 0, então uma raiz dupla: x = 1/2.
O que as pessoas perguntam
- Quando usar a fórmula em vez de fatorar?
- Sempre que o discriminante não for quadrado perfeito, ou sempre que você já passou uns vinte segundos caçando fatores.
- A fórmula sempre funciona?
- Para toda equação do segundo grau, sim. Fatorar só funciona para algumas. É essa confiabilidade que faz valer a pena memorizar.
- O que o discriminante significa no gráfico?
- Conta quantas vezes a parábola cruza o eixo x: duas, uma só tocando, ou nenhuma.
- Deixo as raízes ou converto para decimal?
- Deixe a forma exata, a menos que a questão peça decimal. 2 mais raiz de 3 é exato; 3,73 está arredondado.
Está com um na sua frente?
Selecione o problema na página ou capture com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve junto com você.
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