Solvecoon

Формула корней квадратного уравнения

Формула корней решает любое квадратное уравнение, включая те, что не раскладываются на множители. Если сначала прочитать дискриминант, становится ясно, какого ответа ждать, и так вы ловите арифметическую оплошность до того, как она станет неверным ответом.

Формула

Для любого уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 решения равны x = (-b плюс-минус квадратный корень из (b^2 - 4ac)), всё делённое на 2a. Сначала запишите уравнение в этом стандартном виде: всё в одной части, ноль в другой.

Сначала прочитайте дискриминант

  • b^2 - 4ac больше нуля: два различных действительных корня.
  • b^2 - 4ac равен нулю: один двукратный действительный корень.
  • b^2 - 4ac меньше нуля: действительных решений нет.
  • Дискриминант, являющийся полным квадратом, означает, что трёхчлен разложился бы и на множители.

Как определить a, b и c

Знаки принадлежат коэффициентам. В x^2 - 4x + 1 коэффициент b равен -4, а не 4. Привычка выписывать a, b и c явно до подстановки предотвращает большинство ошибок с этой формулой.

Разобранные примеры

Пример 1

Вопрос

Решите: 2x^2 + 3x - 5 = 0

Ответ

x = 1 или x = -5/2

Шаги

  1. 1Определяем: a = 2, b = 3, c = -5.
  2. 2Дискриминант: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, полный квадрат, значит ждём два аккуратных ответа.
  3. 3Корень из 49 равен 7.
  4. 4Подставляем: x = (-3 плюс-минус 7) / (2 x 2) = (-3 плюс-минус 7) / 4.
  5. 5Первый корень: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
  6. 6Второй корень: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.

Дискриминант — полный квадрат, значит это уравнение раскладывается как (2x + 5)(x - 1) = 0. Оба пути дают одинаковые ответы.

Пример 2

Вопрос

Решите: x^2 - 4x + 1 = 0

Ответ

x = 2 + корень из 3 или x = 2 - корень из 3

Шаги

  1. 1Определяем: a = 1, b = -4, c = 1. Обратите внимание, что b отрицателен.
  2. 2Дискриминант: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Положителен, но не полный квадрат, значит корни иррациональны.
  3. 3Подставляем: x = (4 плюс-минус корень из 12) / 2.
  4. 4Упрощаем радикал: корень из 12 = 2 корня из 3.
  5. 5Значит, x = (4 плюс-минус 2 корня из 3) / 2 = 2 плюс-минус корень из 3.

Делить на 2 в конце нужно каждое слагаемое. Сократить только четвёрку и оставить корень из 12 делить на 2 — очень частое упрощение на полпути.

Пример 3

Вопрос

Решите: x^2 + 2x + 5 = 0

Ответ

Действительных решений нет

Шаги

  1. 1Определяем: a = 1, b = 2, c = 5.
  2. 2Дискриминант: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
  3. 3Дискриминант отрицателен, значит у корня нет действительного значения.
  4. 4Следовательно, действительных решений нет, и парабола не пересекает ось x.
  5. 5Если курс охватывает комплексные числа, решения равны x = -1 плюс-минус 2i.

Частые ошибки

Потерять знак b: взять b = 4 для x^2 - 4x + 1.

b равно -4. Выпишите a, b и c со знаками, прежде чем что-либо подставлять.

Разделить на 2a только часть числителя.

Делится весь числитель. Держите его над одной дробной чертой до последнего шага.

Применить формулу, не приведя уравнение к стандартному виду.

Всё в одну часть, ноль в другую, и только потом определяйте a, b и c.

Считать отрицательный дискриминант ошибкой.

Это и есть ответ. «Действительных решений нет» — полный ответ, если курс не требует комплексных корней.

Потренируйтесь

Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.

  • 1. Решите: x^2 - 7x + 10 = 0

    Показать ответ

    Дискриминант 9, значит x = (7 плюс-минус 3)/2, то есть x = 5 или x = 2.

  • 2. Решите: 3x^2 + 2x - 1 = 0

    Показать ответ

    Дискриминант 16, значит x = (-2 плюс-минус 4)/6, то есть x = 1/3 или x = -1.

  • 3. Решите: 4x^2 - 4x + 1 = 0

    Показать ответ

    Дискриминант 0, значит один двукратный корень: x = 1/2.

О чём спрашивают

Когда брать формулу вместо разложения на множители?
Всякий раз, когда дискриминант не полный квадрат, или когда вы уже секунд двадцать ищете множители.
Формула работает всегда?
Для любого квадратного уравнения — да. Разложение работает лишь для некоторых. Именно эта надёжность и делает формулу достойной заучивания.
Что дискриминант значит на графике?
Он показывает, сколько раз парабола пересекает ось x: дважды, один раз касаясь, или ни разу.
Оставлять радикалы или переводить в десятичные дроби?
Оставляйте точную форму, если не просят десятичную запись. 2 плюс корень из 3 точно, а 3,73 округлено.
Енот — маскот Solvecoon

Одна такая прямо перед вами?

Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.

Добавить в Chrome →

Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.