Die Mitternachtsformel, erklärt
Die Lösungsformel löst jede quadratische Gleichung, auch die, die sich nicht faktorisieren lassen. Zuerst die Diskriminante zu lesen sagt dir, welche Art Antwort zu erwarten ist, und so fängst du einen Rechenfehler ab, bevor er zur falschen Antwort wird.
Die Formel
Für jede Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 sind die Lösungen x = (-b plus oder minus die Wurzel aus (b^2 - 4ac)) geteilt durch 2a. Bring die Gleichung zuerst in diese Standardform, alles auf einer Seite und null auf der anderen.
Lies zuerst die Diskriminante
- b^2 - 4ac größer als null: zwei verschiedene reelle Lösungen.
- b^2 - 4ac gleich null: eine doppelte reelle Lösung.
- b^2 - 4ac kleiner als null: keine reellen Lösungen.
- Eine quadratzahlige Diskriminante heißt, dass sich die Gleichung auch faktorisieren ließe.
a, b und c bestimmen
Vorzeichen gehören zu den Koeffizienten. In x^2 - 4x + 1 ist b gleich -4, nicht 4. a, b und c vor dem Einsetzen ausdrücklich hinzuschreiben ist die Gewohnheit, die die meisten Fehler mit dieser Formel verhindert.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Löse: 2x^2 + 3x - 5 = 0
Antwort
x = 1 oder x = -5/2
Schritte
- 1Bestimmen: a = 2, b = 3, c = -5.
- 2Diskriminante: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, eine Quadratzahl, also sind zwei glatte Antworten zu erwarten.
- 3Die Wurzel aus 49 ist 7.
- 4Einsetzen: x = (-3 plus oder minus 7) / (2 x 2) = (-3 plus oder minus 7) / 4.
- 5Erste Lösung: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
- 6Zweite Lösung: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.
Eine quadratzahlige Diskriminante heißt, dass diese hier als (2x + 5)(x - 1) = 0 faktorisiert. Beide Wege ergeben dieselben Lösungen.
Beispiel 2
Frage
Löse: x^2 - 4x + 1 = 0
Antwort
x = 2 + Wurzel 3 oder x = 2 - Wurzel 3
Schritte
- 1Bestimmen: a = 1, b = -4, c = 1. Beachte, dass b negativ ist.
- 2Diskriminante: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Positiv, aber keine Quadratzahl, also sind die Lösungen irrational.
- 3Einsetzen: x = (4 plus oder minus Wurzel 12) / 2.
- 4Wurzel vereinfachen: Wurzel 12 = 2 Wurzel 3.
- 5Also x = (4 plus oder minus 2 Wurzel 3) / 2 = 2 plus oder minus Wurzel 3.
Am Ende jeden Term durch 2 zu teilen ist Pflicht. Nur die 4 zu kürzen und Wurzel 12 durch 2 stehen zu lassen ist eine häufige Halb-Vereinfachung.
Beispiel 3
Frage
Löse: x^2 + 2x + 5 = 0
Antwort
Keine reellen Lösungen
Schritte
- 1Bestimmen: a = 1, b = 2, c = 5.
- 2Diskriminante: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
- 3Die Diskriminante ist negativ, also hat die Wurzel keinen reellen Wert.
- 4Damit hat die Gleichung keine reellen Lösungen, und die Parabel schneidet die x-Achse nie.
- 5Behandelt dein Kurs komplexe Zahlen, sind die Lösungen x = -1 plus oder minus 2i.
Typische Fehler
Das Vorzeichen von b verlieren: b = 4 für x^2 - 4x + 1 verwenden.
b ist -4. Schreib a, b und c mit ihren Vorzeichen hin, bevor du irgendetwas einsetzt.
Nur einen Teil des Zählers durch 2a teilen.
Der ganze Zähler wird geteilt. Behalt ihn bis zum letzten Schritt über einem Bruchstrich.
Die Formel benutzen, bevor auf Standardform umgestellt wurde.
Alles auf eine Seite, null auf die andere, dann a, b und c bestimmen.
Eine negative Diskriminante als Fehler melden.
Sie ist eine Antwort. Keine reellen Lösungen ist eine vollständige Antwort, außer der Kurs erwartet komplexe Lösungen.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Löse: x^2 - 7x + 10 = 0
Antwort zeigen
Diskriminante 9, also x = (7 plus oder minus 3)/2, das gibt x = 5 oder x = 2.
2. Löse: 3x^2 + 2x - 1 = 0
Antwort zeigen
Diskriminante 16, also x = (-2 plus oder minus 4)/6, das gibt x = 1/3 oder x = -1.
3. Löse: 4x^2 - 4x + 1 = 0
Antwort zeigen
Diskriminante 0, also eine doppelte Lösung: x = 1/2.
Was oft gefragt wird
- Wann sollte ich die Formel statt Faktorisieren nutzen?
- Immer wenn die Diskriminante keine Quadratzahl ist, oder wenn du schon mehr als etwa zwanzig Sekunden nach Faktoren gesucht hast.
- Funktioniert die Formel immer?
- Für jede quadratische Gleichung ja. Faktorisieren funktioniert nur für manche. Diese Verlässlichkeit ist der Grund, warum sich die Formel zu merken lohnt.
- Was bedeutet die Diskriminante grafisch?
- Sie zählt, wie oft die Parabel die x-Achse schneidet: zweimal, einmal als Berührung, oder gar nicht.
- Soll ich Wurzeln stehen lassen oder in Dezimalzahlen umrechnen?
- Lass die exakte Form stehen, außer die Aufgabe verlangt eine Dezimalzahl. 2 plus Wurzel 3 ist exakt; 3,73 ist gerundet.
Hast du gerade eine vor dir?
Markier die Aufgabe auf der Seite oder schnapp sie mit Cmd/Strg + Umschalt + S, und Solvecoon geht sie mit dir durch.
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