Solvecoon一元二次方程求根公式讲解
求根公式能解所有一元二次方程，包括那些分解不了的。先读判别式就知道该期待什么样的答案，这样你能在算错变成答错之前把它抓住。
公式
对任何形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，解为 x = (-b 加减 (b^2 - 4ac) 的平方根)，整体再除以 2a。先把方程写成这种标准形式：所有项在一边，另一边为零。
先读判别式
- b^2 - 4ac 大于零：两个不同的实数解。
- b^2 - 4ac 等于零：一个二重实数解。
- b^2 - 4ac 小于零：没有实数解。
- 判别式若是完全平方数，说明这个二次式本来也能因式分解。
确定 a、b、c
符号属于系数。在 x^2 - 4x + 1 里，b 是 -4，不是 4。代入前先把 a、b、c 明明白白写出来，这个习惯能避开这个公式的绝大多数错误。
例题详解
例 1
题目
解：2x^2 + 3x - 5 = 0
答案
x = 1 或 x = -5/2
步骤
- 1确定：a = 2，b = 3，c = -5。
- 2判别式：3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49，是完全平方数，所以可以期待两个干净的答案。
- 349 的平方根是 7。
- 4代入：x = (-3 加减 7) / (2 x 2) = (-3 加减 7) / 4。
- 5第一个根：(-3 + 7)/4 = 4/4 = 1。
- 6第二个根：(-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2。
判别式是完全平方数，说明这题也能分解成 (2x + 5)(x - 1) = 0。两条路给出同样的答案。
例 2
题目
解：x^2 - 4x + 1 = 0
答案
x = 2 + 根号 3 或 x = 2 - 根号 3
步骤
- 1确定：a = 1，b = -4，c = 1。注意 b 是负的。
- 2判别式：(-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12。为正但不是完全平方数，所以根是无理数。
- 3代入：x = (4 加减 根号 12) / 2。
- 4化简根号：根号 12 = 2 根号 3。
- 5所以 x = (4 加减 2 根号 3) / 2 = 2 加减 根号 3。
最后每一项都要除以 2。只约掉 4、把根号 12 除以 2 留着，是很常见的化简做一半。
例 3
题目
解：x^2 + 2x + 5 = 0
答案
没有实数解
步骤
- 1确定：a = 1，b = 2，c = 5。
- 2判别式：2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16。
- 3判别式为负，所以这个平方根没有实数值。
- 4因此该方程没有实数解，抛物线也不与 x 轴相交。
- 5如果课程涉及复数，解为 x = -1 加减 2i。
常见错误
丢掉 b 的符号：对 x^2 - 4x + 1 取 b = 4。
b 是 -4。代入任何东西之前，先把 a、b、c 连同符号写出来。
只把分子的一部分除以 2a。
整个分子都要除。到最后一步之前，把它保持在同一条分数线上。
没整理成标准形式就用公式。
所有项挪到一边，另一边为零，然后再确定 a、b、c。
把负的判别式当作出错来报告。
那就是答案。除非课程要求复数根，否则「没有实数解」就是一个完整的回答。
动手练一练
先自己算，再打开答案。算到一半卡住了？选中题目，问 Solvecoon 你缺的那一步。
1. 解：x^2 - 7x + 10 = 0
查看答案
判别式为 9，所以 x = (7 加减 3)/2，得 x = 5 或 x = 2。
2. 解：3x^2 + 2x - 1 = 0
查看答案
判别式为 16，所以 x = (-2 加减 4)/6，得 x = 1/3 或 x = -1。
3. 解：4x^2 - 4x + 1 = 0
查看答案
判别式为 0，所以只有一个二重根：x = 1/2。
大家常问的问题
- 什么时候该用公式而不是因式分解？
- 判别式不是完全平方数时，或者你找因式已经找了二十秒以上时。
- 公式总是有效吗？
- 对任何一元二次方程都有效。因式分解只对一部分有效。正是这种可靠性，让公式值得背下来。
- 判别式在图上意味着什么？
- 它数的是抛物线与 x 轴相交的次数：两次、相切一次，或者一次也没有。
- 该保留根号还是化成小数？
- 除非题目要求小数，否则保留精确形式。2 加根号 3 是精确值，3.73 是四舍五入的结果。