La formula risolutiva, spiegata
La formula risolutiva risolve tutte le equazioni di secondo grado, comprese quelle che non si scompongono. Leggere prima il discriminante ti dice che tipo di risposta aspettarti, ed è così che intercetti un errore di calcolo prima che diventi una risposta sbagliata.
La formula
Per ogni equazione della forma ax^2 + bx + c = 0, le soluzioni sono x = (-b più o meno la radice quadrata di (b^2 - 4ac)) il tutto diviso 2a. Scrivi prima l'equazione in quella forma normale, con tutto da una parte e zero dall'altra.
Leggi prima il discriminante
- b^2 - 4ac maggiore di zero: due soluzioni reali distinte.
- b^2 - 4ac uguale a zero: una soluzione reale doppia.
- b^2 - 4ac minore di zero: nessuna soluzione reale.
- Un discriminante quadrato perfetto significa che il trinomio si sarebbe anche scomposto.
Individuare a, b e c
I segni appartengono ai coefficienti. In x^2 - 4x + 1, b vale -4, non 4. Scrivere a, b e c in modo esplicito prima di sostituire è l'abitudine che previene quasi tutti gli errori con questa formula.
Esempi svolti
Esempio 1
Domanda
Risolvi: 2x^2 + 3x - 5 = 0
Risposta
x = 1 oppure x = -5/2
Passaggi
- 1Individua: a = 2, b = 3, c = -5.
- 2Discriminante: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, un quadrato perfetto, quindi aspettati due risposte pulite.
- 3La radice quadrata di 49 è 7.
- 4Sostituisci: x = (-3 più o meno 7) / (2 x 2) = (-3 più o meno 7) / 4.
- 5Prima radice: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
- 6Seconda radice: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.
Un discriminante quadrato perfetto significa che questa si scompone come (2x + 5)(x - 1) = 0. Le due strade danno le stesse risposte.
Esempio 2
Domanda
Risolvi: x^2 - 4x + 1 = 0
Risposta
x = 2 + radice di 3 oppure x = 2 - radice di 3
Passaggi
- 1Individua: a = 1, b = -4, c = 1. Nota che b è negativo.
- 2Discriminante: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Positivo ma non quadrato perfetto, quindi le radici sono irrazionali.
- 3Sostituisci: x = (4 più o meno radice di 12) / 2.
- 4Semplifica il radicale: radice di 12 = 2 radice di 3.
- 5Quindi x = (4 più o meno 2 radice di 3) / 2 = 2 più o meno radice di 3.
Dividere ogni termine per 2 alla fine è obbligatorio. Semplificare solo il 4 lasciando radice di 12 su 2 è una mezza semplificazione molto comune.
Esempio 3
Domanda
Risolvi: x^2 + 2x + 5 = 0
Risposta
Nessuna soluzione reale
Passaggi
- 1Individua: a = 1, b = 2, c = 5.
- 2Discriminante: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
- 3Il discriminante è negativo, quindi la radice quadrata non ha valore reale.
- 4Perciò l'equazione non ha soluzioni reali, e la parabola non interseca mai l'asse x.
- 5Se il tuo corso tratta i numeri complessi, le soluzioni sono x = -1 più o meno 2i.
Errori comuni
Perdere il segno di b: usare b = 4 in x^2 - 4x + 1.
b vale -4. Scrivi a, b e c con i loro segni prima di sostituire qualsiasi cosa.
Dividere solo una parte del numeratore per 2a.
Si divide tutto il numeratore. Tienilo su un'unica linea di frazione fino all'ultimo passaggio.
Usare la formula prima di riordinare in forma normale.
Tutto da una parte, zero dall'altra, e poi individua a, b e c.
Segnalare un discriminante negativo come errore.
È una risposta. Nessuna soluzione reale è una risposta completa, a meno che il corso non si aspetti radici complesse.
Mettiti alla prova
Risolvili prima tu, poi apri la risposta. Bloccato a metà? Seleziona il problema e chiedi a Solvecoon il passaggio che ti manca.
1. Risolvi: x^2 - 7x + 10 = 0
Mostra la risposta
Discriminante 9, quindi x = (7 più o meno 3)/2, cioè x = 5 oppure x = 2.
2. Risolvi: 3x^2 + 2x - 1 = 0
Mostra la risposta
Discriminante 16, quindi x = (-2 più o meno 4)/6, cioè x = 1/3 oppure x = -1.
3. Risolvi: 4x^2 - 4x + 1 = 0
Mostra la risposta
Discriminante 0, quindi una radice doppia: x = 1/2.
Le domande che ci fanno
- Quando conviene usare la formula invece della scomposizione?
- Ogni volta che il discriminante non è un quadrato perfetto, o ogni volta che stai cercando fattori da più di una ventina di secondi.
- La formula funziona sempre?
- Per ogni equazione di secondo grado sì. La scomposizione funziona solo per alcune. È questa affidabilità a rendere la formula degna di essere memorizzata.
- Cosa significa il discriminante graficamente?
- Conta quante volte la parabola interseca l'asse x: due volte, una sola toccandolo, oppure mai.
- Lascio i radicali o passo ai decimali?
- Lascia la forma esatta, a meno che la domanda non chieda un decimale. 2 più radice di 3 è esatto; 3,73 è arrotondato.
Ne hai uno davanti?
Seleziona il problema sulla pagina o catturalo con Cmd/Ctrl + Maiusc + S, e Solvecoon lo svolge con te.
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