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A fórmula resolvente, explicada

A fórmula resolvente resolve todas as equações do segundo grau, incluindo as que não factorizam. Ler primeiro o binómio discriminante indica que tipo de resposta esperar, e é assim que apanha um deslize de cálculo antes que se torne uma resposta errada.

A fórmula

Para qualquer equação da forma ax^2 + bx + c = 0, as soluções são x = (-b mais ou menos a raiz quadrada de (b^2 - 4ac)) tudo a dividir por 2a. Escreva primeiro a equação nessa forma canónica, com tudo de um lado e zero do outro.

Leia primeiro o binómio discriminante

  • b^2 - 4ac maior do que zero: duas soluções reais distintas.
  • b^2 - 4ac igual a zero: uma solução real dupla.
  • b^2 - 4ac menor do que zero: nenhuma solução real.
  • Um discriminante que é quadrado perfeito significa que o trinómio também teria factorizado.

Identificar a, b e c

Os sinais pertencem aos coeficientes. Em x^2 - 4x + 1, b é -4, não 4. Escrever a, b e c explicitamente antes de substituir é o hábito que evita a maioria dos erros com esta fórmula.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1

Pergunta

Resolva: 2x^2 + 3x - 5 = 0

Resposta

x = 1 ou x = -5/2

Passos

  1. 1Identifique: a = 2, b = 3, c = -5.
  2. 2Discriminante: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, um quadrado perfeito, logo espere duas respostas limpas.
  3. 3A raiz quadrada de 49 é 7.
  4. 4Substitua: x = (-3 mais ou menos 7) / (2 x 2) = (-3 mais ou menos 7) / 4.
  5. 5Primeira raiz: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
  6. 6Segunda raiz: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.

Um discriminante quadrado perfeito significa que esta factoriza como (2x + 5)(x - 1) = 0. Ambos os caminhos dão as mesmas respostas.

Exemplo 2

Pergunta

Resolva: x^2 - 4x + 1 = 0

Resposta

x = 2 + raiz de 3 ou x = 2 - raiz de 3

Passos

  1. 1Identifique: a = 1, b = -4, c = 1. Repare que b é negativo.
  2. 2Discriminante: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Positivo, mas não quadrado perfeito, logo as raízes são irracionais.
  3. 3Substitua: x = (4 mais ou menos raiz de 12) / 2.
  4. 4Simplifique o radical: raiz de 12 = 2 raiz de 3.
  5. 5Logo x = (4 mais ou menos 2 raiz de 3) / 2 = 2 mais ou menos raiz de 3.

Dividir todos os termos por 2 no fim é obrigatório. Cortar apenas o 4 e deixar raiz de 12 sobre 2 é uma simplificação a meio caminho muito comum.

Exemplo 3

Pergunta

Resolva: x^2 + 2x + 5 = 0

Resposta

Nenhuma solução real

Passos

  1. 1Identifique: a = 1, b = 2, c = 5.
  2. 2Discriminante: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
  3. 3O discriminante é negativo, logo a raiz quadrada não tem valor real.
  4. 4Portanto a equação não tem soluções reais, e a parábola nunca intersecta o eixo dos xx.
  5. 5Se o programa abranger números complexos, as soluções são x = -1 mais ou menos 2i.

Erros comuns

Perder o sinal de b: usar b = 4 em x^2 - 4x + 1.

b é -4. Escreva a, b e c com os respectivos sinais antes de substituir seja o que for.

Dividir apenas parte do numerador por 2a.

Divide-se o numerador inteiro. Mantenha-o sobre um único traço de fracção até ao último passo.

Usar a fórmula antes de reescrever na forma canónica.

Tudo de um lado, zero do outro, e só depois identifique a, b e c.

Apresentar um discriminante negativo como erro.

É uma resposta. Nenhuma solução real é uma resposta completa, a menos que o programa espere raízes complexas.

Pratica

Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.

  • 1. Resolva: x^2 - 7x + 10 = 0

    Ver a resposta

    Discriminante 9, logo x = (7 mais ou menos 3)/2, dando x = 5 ou x = 2.

  • 2. Resolva: 3x^2 + 2x - 1 = 0

    Ver a resposta

    Discriminante 16, logo x = (-2 mais ou menos 4)/6, dando x = 1/3 ou x = -1.

  • 3. Resolva: 4x^2 - 4x + 1 = 0

    Ver a resposta

    Discriminante 0, logo uma raiz dupla: x = 1/2.

O que as pessoas perguntam

Quando devo usar a fórmula em vez de factorizar?
Sempre que o discriminante não for um quadrado perfeito, ou sempre que já leve mais de uns vinte segundos à procura de factores.
A fórmula resulta sempre?
Para qualquer equação do segundo grau, sim. Factorizar só resulta para algumas. É essa fiabilidade que torna a fórmula digna de ser decorada.
O que significa o discriminante graficamente?
Conta quantas vezes a parábola intersecta o eixo dos xx: duas vezes, uma só, tocando, ou nenhuma.
Devo deixar os radicais ou converter para decimais?
Deixe a forma exacta, a menos que a pergunta peça um decimal. 2 mais raiz de 3 é exacto; 3,73 está arredondado.
Guaxinim, mascote do Solvecoon

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