Solvecoon

Como factorizar equações do segundo grau

Factorizar transforma um trinómio num produto de dois parênteses, e um produto só é zero quando um dos seus factores é zero. É este único facto que explica porque é que factorizar resolve equações.

Quando o coeficiente principal é 1

  • Para x^2 + bx + c, procure dois números cujo produto seja c e cuja soma seja b.
  • Esses dois números vão directamente para os parênteses: (x + p)(x + q).
  • Iguale cada parêntese a zero e resolva.

Quando não é 1

Para ax^2 + bx + c, procure dois números cujo produto seja a vezes c e cuja soma seja b. Decomponha o termo do meio com esses dois números e depois factorize os quatro termos aos pares. Este método resulta sempre e nunca exige adivinhar.

Casos notáveis a reconhecer

  • Diferença de quadrados: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
  • Quadrado perfeito: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
  • Factor comum primeiro: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), antes de tudo o resto.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1

Pergunta

Factorize e resolva: x^2 + 7x + 12 = 0

Resposta

x = -3 ou x = -4

Passos

  1. 1O coeficiente principal é 1, portanto procure dois números de produto 12 e soma 7.
  2. 2São 3 e 4.
  3. 3Logo x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
  4. 4Iguale cada factor a zero: x + 3 = 0 dá x = -3, e x + 4 = 0 dá x = -4.
  5. 5Verificação: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Exemplo 2

Pergunta

Factorize e resolva: x^2 - 5x - 14 = 0

Resposta

x = 7 ou x = -2

Passos

  1. 1Dois números de produto -14 e soma -5.
  2. 2O produto é negativo, logo os números têm sinais contrários: -7 e 2.
  3. 3Logo x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
  4. 4Soluções: x = 7 e x = -2.
  5. 5Verificação: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Um termo independente negativo significa sempre que os dois números têm sinais contrários. Isso reduz para metade a lista a percorrer.

Exemplo 3

Pergunta

Factorize e resolva: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Resposta

x = 1/2 ou x = -3

Passos

  1. 1O coeficiente principal não é 1, portanto use a vezes c: 2 x (-3) = -6.
  2. 2Procure dois números de produto -6 e soma 5: são 6 e -1.
  3. 3Decomponha o termo do meio: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
  4. 4Factorize aos pares: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
  5. 5Ponha o parêntese comum em evidência: (2x - 1)(x + 3) = 0.
  6. 6Soluções: 2x - 1 = 0 dá x = 1/2, e x + 3 = 0 dá x = -3.

Erros comuns

Factorizar bem e depois esquecer de igualar cada parêntese a zero.

A forma factorizada não é a resposta a uma equação. (x + 3)(x + 4) = 0 ainda tem de ser resolvida.

Procurar números cuja soma seja c e cujo produto seja b.

Produto c, soma b. Trocar os dois é de longe o deslize mais frequente.

Deixar escapar um factor comum: factorizar 2x^2 + 10x + 12 sem tirar antes o 2.

Verifique sempre o factor comum antes de tudo. Facilita tudo o que vem a seguir.

Assumir que qualquer trinómio factoriza de forma limpa.

Veja o binómio discriminante, b^2 - 4ac. Se não for um quadrado perfeito, use a fórmula resolvente em vez de caçar factores que não existem.

Pratica

Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.

  • 1. Factorize e resolva: x^2 + 9x + 20 = 0

    Ver a resposta

    (x + 4)(x + 5) = 0, logo x = -4 ou x = -5.

  • 2. Factorize e resolva: x^2 - 36 = 0

    Ver a resposta

    Diferença de quadrados: (x - 6)(x + 6) = 0, logo x = 6 ou x = -6.

  • 3. Factorize e resolva: 3x^2 - 10x + 8 = 0

    Ver a resposta

    a vezes c = 24, e -6 e -4 somam -10. Resulta (3x - 4)(x - 2) = 0, logo x = 4/3 ou x = 2.

O que as pessoas perguntam

Como sei se um trinómio factoriza?
Calcule o binómio discriminante, b^2 - 4ac. Se for um quadrado perfeito, o trinómio factoriza nos inteiros. Se não for, não perca tempo à procura.
Factorizar é mais rápido do que a fórmula resolvente?
Quando resulta, é bastante mais. Quando não resulta, é pior do que inútil, porque gasta o tempo e ainda tem de usar a fórmula.
Porque é que igualar cada factor a zero funciona?
Porque a única forma de um produto de dois números ser zero é pelo menos um deles ser zero. É a lei do anulamento do produto, e é toda a razão para factorizar.
E se não houver termo independente?
Ponha x em evidência: x^2 - 5x = x(x - 5), logo x = 0 ou x = 5. Dividir ambos os membros por x perde a solução x = 0.
Guaxinim, mascote do Solvecoon

Tens um à tua frente?

Seleciona o problema na página ou captura-o com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve-o contigo.

Adicionar ao Chrome →

Experimenta grátis — 5 resoluções por dia. Sem cartão.