İkinci dereceden denklemler nasıl çarpanlara ayrılır

Çarpanlara ayırma, ikinci dereceden bir ifadeyi iki parantezin çarpımına dönüştürür ve bir çarpım ancak çarpanlarından biri sıfırken sıfır olur. Çarpanlara ayırmanın denklem çözmesinin tek nedeni budur.

Baş katsayı 1 olduğunda

x^2 + bx + c için çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bulun.
Bu iki sayı doğrudan parantezlere girer: (x + p)(x + q).
Her parantezi sıfıra eşitleyip çözün.

1 olmadığında

ax^2 + bx + c için çarpımı a çarpı c, toplamı b olan iki sayı bulun. Ortadaki terimi bu iki sayıyla ayırın, sonra dört terimi ikişerli gruplayarak çarpanlara ayırın. Bu yöntem her zaman işler ve tahmin gerektirmez.

Tanınmaya değer özdeşlikler

İki kare farkı: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
Tam kare: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
Önce ortak çarpan: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), her şeyden önce.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Soru

Çarpanlara ayırıp çözün: x^2 + 7x + 12 = 0

Cevap

x = -3 ya da x = -4

Adımlar

1Baş katsayı 1, o hâlde çarpımı 12, toplamı 7 olan iki sayı arayın.
2Bunlar 3 ve 4.
3Yani x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
4Her çarpanı sıfıra eşitleyin: x + 3 = 0 ise x = -3, x + 4 = 0 ise x = -4.
5Kontrol: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Örnek 2

Soru

Çarpanlara ayırıp çözün: x^2 - 5x - 14 = 0

Cevap

x = 7 ya da x = -2

Adımlar

1Çarpımı -14, toplamı -5 olan iki sayı.
2Çarpım negatif olduğundan sayıların işaretleri zıttır: -7 ve 2.
3Yani x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
4Çözümler: x = 7 ve x = -2.
5Kontrol: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Sabit terimin negatif olması her zaman iki sayının işaretlerinin zıt olduğu anlamına gelir. Bu, taranacak listeyi yarıya indirir.

Örnek 3

Soru

Çarpanlara ayırıp çözün: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Cevap

x = 1/2 ya da x = -3

Adımlar

1Baş katsayı 1 değil, o hâlde a çarpı c kullanın: 2 x (-3) = -6.
2Çarpımı -6, toplamı 5 olan iki sayı bulun: 6 ve -1.
3Ortadaki terimi ayırın: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
4İkişerli gruplayın: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
5Ortak parantezi dışarı alın: (2x - 1)(x + 3) = 0.
6Çözümler: 2x - 1 = 0 ise x = 1/2, x + 3 = 0 ise x = -3.

Sık yapılan hatalar

Doğru çarpanlara ayırıp her parantezi sıfıra eşitlemeyi unutmak.

Çarpanlara ayrılmış biçim bir denklemin cevabı değildir. (x + 3)(x + 4) = 0 hâlâ çözülmelidir.

Toplamı c, çarpımı b olan sayıları aramak.

Çarpımı c, toplamı b. Bunları karıştırmak açık ara en sık yapılan hatadır.

Ortak çarpanı kaçırmak: 2x^2 + 10x + 12'yi önce 2'yi dışarı almadan çarpanlara ayırmak.

Her şeyden önce ortak çarpanı kontrol edin. Sonrasındaki her adımı kolaylaştırır.

Her ikinci derece ifadenin düzgün çarpanlara ayrıldığını sanmak.

Diskriminanta bakın: b^2 - 4ac. Tam kare değilse olmayan çarpanları aramak yerine formülü kullanın.

Alıştırma yap

Önce kendin çöz, sonra cevabı aç. Yarısında mı takıldın? Soruyu seç ve eksik adımı Solvecoon'a sor.

1. Çarpanlara ayırıp çözün: x^2 + 9x + 20 = 0
Cevabı göster
(x + 4)(x + 5) = 0, yani x = -4 ya da x = -5.
2. Çarpanlara ayırıp çözün: x^2 - 36 = 0
Cevabı göster
İki kare farkı: (x - 6)(x + 6) = 0, yani x = 6 ya da x = -6.
3. Çarpanlara ayırıp çözün: 3x^2 - 10x + 8 = 0
Cevabı göster
a çarpı c = 24 ve -6 ile -4 toplamı -10 verir. Buradan (3x - 4)(x - 2) = 0, yani x = 4/3 ya da x = 2.

İnsanların sorduğu şeyler

Bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığını nasıl anlarım?: Diskriminantı hesaplayın: b^2 - 4ac. Tam kare ise ifade tam sayılarda çarpanlara ayrılır. Değilse aramakla vakit kaybetmeyin.
Çarpanlara ayırmak formülden hızlı mı?: İşe yaradığında evet, epeyce. İşe yaramadığında ise faydasızdan da kötüdür, çünkü hem vakit gider hem de formülü yine kullanırsınız.
Her çarpanı sıfıra eşitlemek neden işe yarar?: Çünkü iki sayının çarpımının sıfır olmasının tek yolu en az birinin sıfır olmasıdır. Bu, sıfır çarpım özelliğidir ve çarpanlara ayırmanın bütün gerekçesidir.
Sabit terim yoksa ne olur?: x'i dışarı alın: x^2 - 5x = x(x - 5), yani x = 0 ya da x = 5. İki tarafı x'e bölmek x = 0 çözümünü kaybettirir.

Okumaya devam et

Şu anda önünde bir tane mi var?

Sayfadaki soruyu seç ya da Cmd/Ctrl + Shift + S ile yakala; Solvecoon seninle birlikte adım adım gitsin.

Chrome'a ekle →

Ücretsiz dene — günde 5 çözüm. Kart gerekmez.