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Cómo factorizar ecuaciones de segundo grado

Factorizar convierte una ecuación de segundo grado en un producto de dos paréntesis, y un producto vale cero solo cuando uno de sus factores vale cero. Ese único hecho es la razón por la que factorizar resuelve ecuaciones.

Cuando el coeficiente principal es 1

  • Para x^2 + bx + c, busca dos números que multipliquen c y sumen b.
  • Esos dos números van directos a los paréntesis: (x + p)(x + q).
  • Iguala cada paréntesis a cero y resuelve.

Cuando no es 1

Para ax^2 + bx + c, busca dos números que multipliquen a por c y sumen b. Descompón el término central usando esos dos números y luego factoriza los cuatro términos por parejas. Este método funciona siempre y nunca exige adivinar.

Patrones que conviene reconocer

  • Diferencia de cuadrados: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
  • Cuadrado perfecto: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
  • Factor común primero: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), antes que nada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Pregunta

Factoriza y resuelve: x^2 + 7x + 12 = 0

Respuesta

x = -3 o x = -4

Pasos

  1. 1El coeficiente principal es 1, así que busca dos números que multipliquen 12 y sumen 7.
  2. 2Son 3 y 4.
  3. 3Entonces x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
  4. 4Iguala cada factor a cero: x + 3 = 0 da x = -3, y x + 4 = 0 da x = -4.
  5. 5Comprobación: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Ejemplo 2

Pregunta

Factoriza y resuelve: x^2 - 5x - 14 = 0

Respuesta

x = 7 o x = -2

Pasos

  1. 1Dos números que multipliquen -14 y sumen -5.
  2. 2El producto es negativo, así que los números tienen signos opuestos: -7 y 2.
  3. 3Entonces x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
  4. 4Soluciones: x = 7 y x = -2.
  5. 5Comprobación: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Un término independiente negativo significa siempre que los dos números tienen signos opuestos. Eso reduce a la mitad la lista que hay que buscar.

Ejemplo 3

Pregunta

Factoriza y resuelve: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Respuesta

x = 1/2 o x = -3

Pasos

  1. 1El coeficiente principal no es 1, así que usa a por c: 2 x (-3) = -6.
  2. 2Busca dos números que multipliquen -6 y sumen 5: son 6 y -1.
  3. 3Descompón el término central: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
  4. 4Factoriza por parejas: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
  5. 5Saca el paréntesis común: (2x - 1)(x + 3) = 0.
  6. 6Soluciones: 2x - 1 = 0 da x = 1/2, y x + 3 = 0 da x = -3.

Errores habituales

Factorizar bien y luego olvidar igualar cada paréntesis a cero.

La forma factorizada no es la respuesta a una ecuación. (x + 3)(x + 4) = 0 todavía hay que resolverlo.

Buscar números que sumen c y multipliquen b.

Multiplican c, suman b. Confundirlos es el desliz más frecuente de todos.

Pasar por alto un factor común: factorizar 2x^2 + 10x + 12 sin sacar antes el 2.

Comprueba siempre si hay factor común antes que nada. Hace más fácil todo lo que viene después.

Suponer que toda ecuación de segundo grado factoriza limpiamente.

Mira el discriminante, b^2 - 4ac. Si no es un cuadrado perfecto, usa la fórmula en vez de buscar factores que no existen.

Practícalo

Resuélvelos primero tú y luego abre la respuesta. ¿Atascado a medias? Selecciona el problema y pídele a Solvecoon el paso que te falta.

  • 1. Factoriza y resuelve: x^2 + 9x + 20 = 0

    Ver la respuesta

    (x + 4)(x + 5) = 0, así que x = -4 o x = -5.

  • 2. Factoriza y resuelve: x^2 - 36 = 0

    Ver la respuesta

    Diferencia de cuadrados: (x - 6)(x + 6) = 0, así que x = 6 o x = -6.

  • 3. Factoriza y resuelve: 3x^2 - 10x + 8 = 0

    Ver la respuesta

    a por c = 24, y -6 y -4 suman -10. Queda (3x - 4)(x - 2) = 0, así que x = 4/3 o x = 2.

Lo que suele preguntarse

¿Cómo sé si una ecuación de segundo grado factoriza?
Calcula el discriminante, b^2 - 4ac. Si es un cuadrado perfecto, factoriza sobre los enteros. Si no, no pierdas el tiempo buscando.
¿Factorizar es más rápido que la fórmula general?
Cuando funciona, sí, bastante. Cuando no, es peor que inútil, porque gastas el tiempo y encima tienes que usar la fórmula.
¿Por qué funciona igualar cada factor a cero?
Porque la única forma de que un producto de dos números sea cero es que al menos uno lo sea. Esa es la propiedad del producto nulo, y es toda la razón de factorizar.
¿Y si no hay término independiente?
Saca la x factor común: x^2 - 5x = x(x - 5), así que x = 0 o x = 5. Dividir los dos lados entre x pierde la solución x = 0.
Mascota mapache de Solvecoon

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