Solvecoon

Как разложить квадратное уравнение на множители

Разложение превращает квадратный трёхчлен в произведение двух скобок, а произведение равно нулю только тогда, когда нулю равен один из множителей. Именно этот факт объясняет, почему разложение вообще решает уравнения.

Когда старший коэффициент равен 1

  • Для x^2 + bx + c найдите два числа, произведение которых равно c, а сумма b.
  • Эти два числа идут прямо в скобки: (x + p)(x + q).
  • Приравняйте каждую скобку к нулю и решите.

Когда он не равен 1

Для ax^2 + bx + c найдите два числа с произведением a на c и суммой b. Разбейте средний член с помощью этих чисел, а затем сгруппируйте четыре члена попарно. Этот способ работает всегда и не требует угадывания.

Формулы, которые стоит узнавать

  • Разность квадратов: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
  • Полный квадрат: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
  • Сначала общий множитель: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), прежде всего остального.

Разобранные примеры

Пример 1

Вопрос

Разложите и решите: x^2 + 7x + 12 = 0

Ответ

x = -3 или x = -4

Шаги

  1. 1Старший коэффициент равен 1, поэтому ищем два числа с произведением 12 и суммой 7.
  2. 2Это 3 и 4.
  3. 3Значит, x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
  4. 4Приравняйте каждый множитель к нулю: x + 3 = 0 даёт x = -3, а x + 4 = 0 даёт x = -4.
  5. 5Проверка: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Пример 2

Вопрос

Разложите и решите: x^2 - 5x - 14 = 0

Ответ

x = 7 или x = -2

Шаги

  1. 1Два числа с произведением -14 и суммой -5.
  2. 2Произведение отрицательно, значит у чисел разные знаки: -7 и 2.
  3. 3Значит, x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
  4. 4Решения: x = 7 и x = -2.
  5. 5Проверка: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Отрицательный свободный член всегда означает, что у двух чисел разные знаки. Это сразу вдвое сокращает перебор.

Пример 3

Вопрос

Разложите и решите: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Ответ

x = 1/2 или x = -3

Шаги

  1. 1Старший коэффициент не равен 1, поэтому используем a на c: 2 x (-3) = -6.
  2. 2Найдите два числа с произведением -6 и суммой 5: это 6 и -1.
  3. 3Разбейте средний член: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
  4. 4Сгруппируйте попарно: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
  5. 5Вынесите общую скобку: (2x - 1)(x + 3) = 0.
  6. 6Решения: 2x - 1 = 0 даёт x = 1/2, а x + 3 = 0 даёт x = -3.

Частые ошибки

Верно разложить и забыть приравнять каждую скобку к нулю.

Разложенный вид — не ответ на уравнение. (x + 3)(x + 4) = 0 ещё нужно решить.

Искать числа с суммой c и произведением b.

Произведение c, сумма b. Перепутать их — самая частая оплошность.

Не заметить общий множитель: разложить 2x^2 + 10x + 12, не вынеся сначала 2.

Всегда сначала проверяйте общий множитель. Это упрощает всё, что идёт дальше.

Считать, что любой трёхчлен раскладывается красиво.

Посмотрите на дискриминант b^2 - 4ac. Если он не полный квадрат, берите формулу, а не ищите множители, которых нет.

Потренируйтесь

Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.

  • 1. Разложите и решите: x^2 + 9x + 20 = 0

    Показать ответ

    (x + 4)(x + 5) = 0, значит x = -4 или x = -5.

  • 2. Разложите и решите: x^2 - 36 = 0

    Показать ответ

    Разность квадратов: (x - 6)(x + 6) = 0, значит x = 6 или x = -6.

  • 3. Разложите и решите: 3x^2 - 10x + 8 = 0

    Показать ответ

    a на c = 24, а -6 и -4 дают сумму -10. Получается (3x - 4)(x - 2) = 0, значит x = 4/3 или x = 2.

О чём спрашивают

Как понять, раскладывается ли трёхчлен?
Вычислите дискриминант b^2 - 4ac. Если это полный квадрат, трёхчлен раскладывается в целых числах. Если нет — не тратьте время на поиск.
Разложение быстрее формулы корней?
Когда оно срабатывает — да, заметно. Когда не срабатывает, оно хуже бесполезного: время потрачено, а формулу всё равно применять.
Почему приравнивание каждого множителя к нулю работает?
Потому что произведение двух чисел равно нулю только тогда, когда хотя бы одно из них ноль. Это свойство нулевого произведения — вся причина, ради которой мы раскладываем.
А если свободного члена нет?
Вынесите x: x^2 - 5x = x(x - 5), значит x = 0 или x = 5. Деление обеих частей на x теряет решение x = 0.
Енот — маскот Solvecoon

Одна такая прямо перед вами?

Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.

Добавить в Chrome →

Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.