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Como fatorar equações do segundo grau

Fatorar transforma um trinômio num produto de dois parênteses, e um produto só é zero quando um dos fatores é zero. Esse único fato é a razão de fatorar resolver equações.

Quando o coeficiente principal é 1

  • Para x^2 + bx + c, ache dois números cujo produto é c e cuja soma é b.
  • Esses dois números vão direto para os parênteses: (x + p)(x + q).
  • Iguale cada parêntese a zero e resolva.

Quando não é 1

Para ax^2 + bx + c, ache dois números cujo produto é a vezes c e cuja soma é b. Quebre o termo do meio usando esses dois números e depois fatore os quatro termos aos pares. Esse método sempre funciona e nunca exige chute.

Padrões que vale reconhecer

  • Diferença de quadrados: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
  • Quadrado perfeito: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
  • Fator comum primeiro: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), antes de qualquer coisa.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1

Questão

Fatore e resolva: x^2 + 7x + 12 = 0

Resposta

x = -3 ou x = -4

Passos

  1. 1O coeficiente principal é 1, então procure dois números com produto 12 e soma 7.
  2. 2São 3 e 4.
  3. 3Logo x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
  4. 4Iguale cada fator a zero: x + 3 = 0 dá x = -3, e x + 4 = 0 dá x = -4.
  5. 5Conferindo: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Exemplo 2

Questão

Fatore e resolva: x^2 - 5x - 14 = 0

Resposta

x = 7 ou x = -2

Passos

  1. 1Dois números com produto -14 e soma -5.
  2. 2O produto é negativo, então os números têm sinais opostos: -7 e 2.
  3. 3Logo x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
  4. 4Soluções: x = 7 e x = -2.
  5. 5Conferindo: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Termo independente negativo sempre significa que os dois números têm sinais opostos. Isso já corta pela metade a lista a procurar.

Exemplo 3

Questão

Fatore e resolva: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Resposta

x = 1/2 ou x = -3

Passos

  1. 1O coeficiente principal não é 1, então use a vezes c: 2 x (-3) = -6.
  2. 2Ache dois números com produto -6 e soma 5: são 6 e -1.
  3. 3Quebre o termo do meio: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
  4. 4Fatore aos pares: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
  5. 5Coloque o parêntese comum em evidência: (2x - 1)(x + 3) = 0.
  6. 6Soluções: 2x - 1 = 0 dá x = 1/2, e x + 3 = 0 dá x = -3.

Erros comuns

Fatorar certo e esquecer de igualar cada parêntese a zero.

A forma fatorada não é a resposta de uma equação. (x + 3)(x + 4) = 0 ainda precisa ser resolvida.

Procurar números que somem c e multipliquem b.

Multiplicam c, somam b. Trocar os dois é o deslize mais comum de todos.

Deixar passar um fator comum: fatorar 2x^2 + 10x + 12 sem tirar o 2 antes.

Sempre verifique fator comum antes de tudo. Facilita tudo o que vem depois.

Supor que todo trinômio fatora bonitinho.

Olhe o discriminante, b^2 - 4ac. Se não for quadrado perfeito, use a fórmula em vez de caçar fatores que não existem.

Pratique

Resolva primeiro, depois abra a resposta. Travou no meio? Selecione o problema e peça ao Solvecoon o passo que está faltando.

  • 1. Fatore e resolva: x^2 + 9x + 20 = 0

    Ver a resposta

    (x + 4)(x + 5) = 0, então x = -4 ou x = -5.

  • 2. Fatore e resolva: x^2 - 36 = 0

    Ver a resposta

    Diferença de quadrados: (x - 6)(x + 6) = 0, então x = 6 ou x = -6.

  • 3. Fatore e resolva: 3x^2 - 10x + 8 = 0

    Ver a resposta

    a vezes c = 24, e -6 e -4 somam -10. Sai (3x - 4)(x - 2) = 0, então x = 4/3 ou x = 2.

O que as pessoas perguntam

Como sei se um trinômio fatora?
Calcule o discriminante, b^2 - 4ac. Se for quadrado perfeito, o trinômio fatora nos inteiros. Se não for, não perca tempo procurando.
Fatorar é mais rápido que a fórmula de Bhaskara?
Quando funciona, é bem mais. Quando não funciona, é pior que inútil, porque você gasta o tempo e ainda tem que usar a fórmula.
Por que igualar cada fator a zero funciona?
Porque o único jeito de um produto de dois números ser zero é ao menos um deles ser zero. Essa é a propriedade do produto nulo, e é toda a razão de fatorar.
E se não houver termo independente?
Coloque x em evidência: x^2 - 5x = x(x - 5), então x = 0 ou x = 5. Dividir os dois lados por x perde a solução x = 0.
Guaxinim, mascote do Solvecoon

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