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Come scomporre le equazioni di secondo grado

La scomposizione trasforma un trinomio in un prodotto di due parentesi, e un prodotto vale zero solo quando uno dei suoi fattori vale zero. È questo singolo fatto a spiegare perché la scomposizione risolve le equazioni.

Quando il coefficiente direttivo è 1

  • Per x^2 + bx + c, cerca due numeri con prodotto c e somma b.
  • Quei due numeri vanno direttamente nelle parentesi: (x + p)(x + q).
  • Poni ogni parentesi uguale a zero e risolvi.

Quando non è 1

Per ax^2 + bx + c, cerca due numeri con prodotto a per c e somma b. Spezza il termine centrale usando quei due numeri, poi raccogli i quattro termini a coppie. Questo metodo funziona sempre e non richiede mai di indovinare.

Schemi da riconoscere

  • Differenza di quadrati: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
  • Quadrato perfetto: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
  • Prima il fattore comune: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), prima di ogni altra cosa.

Esempi svolti

Esempio 1

Domanda

Scomponi e risolvi: x^2 + 7x + 12 = 0

Risposta

x = -3 oppure x = -4

Passaggi

  1. 1Il coefficiente direttivo è 1, quindi cerca due numeri con prodotto 12 e somma 7.
  2. 2Sono 3 e 4.
  3. 3Quindi x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
  4. 4Poni ogni fattore uguale a zero: x + 3 = 0 dà x = -3, e x + 4 = 0 dà x = -4.
  5. 5Verifica: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Esempio 2

Domanda

Scomponi e risolvi: x^2 - 5x - 14 = 0

Risposta

x = 7 oppure x = -2

Passaggi

  1. 1Due numeri con prodotto -14 e somma -5.
  2. 2Il prodotto è negativo, quindi i numeri hanno segni opposti: -7 e 2.
  3. 3Quindi x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
  4. 4Soluzioni: x = 7 e x = -2.
  5. 5Verifica: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Un termine noto negativo significa sempre che i due numeri hanno segni opposti. Questo dimezza la lista da esplorare.

Esempio 3

Domanda

Scomponi e risolvi: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Risposta

x = 1/2 oppure x = -3

Passaggi

  1. 1Il coefficiente direttivo non è 1, quindi usa a per c: 2 x (-3) = -6.
  2. 2Cerca due numeri con prodotto -6 e somma 5: sono 6 e -1.
  3. 3Spezza il termine centrale: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
  4. 4Raccogli a coppie: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
  5. 5Raccogli la parentesi comune: (2x - 1)(x + 3) = 0.
  6. 6Soluzioni: 2x - 1 = 0 dà x = 1/2, e x + 3 = 0 dà x = -3.

Errori comuni

Scomporre correttamente e poi dimenticare di porre ogni parentesi uguale a zero.

La forma scomposta non è la risposta a un'equazione. (x + 3)(x + 4) = 0 va ancora risolta.

Cercare numeri con somma c e prodotto b.

Prodotto c, somma b. Invertirli è di gran lunga la svista più comune.

Non vedere un fattore comune: scomporre 2x^2 + 10x + 12 senza raccogliere prima il 2.

Controlla sempre il fattore comune prima di tutto. Rende più facile tutto quello che viene dopo.

Dare per scontato che ogni trinomio si scomponga bene.

Guarda il discriminante, b^2 - 4ac. Se non è un quadrato perfetto, usa la formula invece di cercare fattori che non esistono.

Mettiti alla prova

Risolvili prima tu, poi apri la risposta. Bloccato a metà? Seleziona il problema e chiedi a Solvecoon il passaggio che ti manca.

  • 1. Scomponi e risolvi: x^2 + 9x + 20 = 0

    Mostra la risposta

    (x + 4)(x + 5) = 0, quindi x = -4 oppure x = -5.

  • 2. Scomponi e risolvi: x^2 - 36 = 0

    Mostra la risposta

    Differenza di quadrati: (x - 6)(x + 6) = 0, quindi x = 6 oppure x = -6.

  • 3. Scomponi e risolvi: 3x^2 - 10x + 8 = 0

    Mostra la risposta

    a per c = 24, e -6 e -4 danno somma -10. Viene (3x - 4)(x - 2) = 0, quindi x = 4/3 oppure x = 2.

Le domande che ci fanno

Come faccio a sapere se un trinomio si scompone?
Calcola il discriminante, b^2 - 4ac. Se è un quadrato perfetto, il trinomio si scompone sugli interi. Se non lo è, non perdere tempo a cercare.
Scomporre è più veloce della formula risolutiva?
Quando funziona sì, e di parecchio. Quando non funziona è peggio che inutile, perché ci perdi il tempo e devi comunque usare la formula.
Perché funziona porre ogni fattore uguale a zero?
Perché l'unico modo perché un prodotto di due numeri sia zero è che almeno uno lo sia. È la legge di annullamento del prodotto, ed è tutta la ragione per cui si scompone.
E se non c'è il termine noto?
Raccogli la x: x^2 - 5x = x(x - 5), quindi x = 0 oppure x = 5. Dividere entrambi i membri per x fa perdere la soluzione x = 0.
Mascotte procione di Solvecoon

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