Comment factoriser une équation du second degré
Factoriser transforme un trinôme en produit de deux parenthèses, et un produit ne vaut zéro que lorsque l'un de ses facteurs vaut zéro. C'est ce seul fait qui explique pourquoi la factorisation résout des équations.
Quand le coefficient dominant vaut 1
- Pour x^2 + bx + c, cherchez deux nombres dont le produit vaut c et la somme b.
- Ces deux nombres vont directement dans les parenthèses : (x + p)(x + q).
- Annulez chaque parenthèse et résolvez.
Quand il ne vaut pas 1
Pour ax^2 + bx + c, cherchez deux nombres dont le produit vaut a fois c et la somme b. Décomposez le terme du milieu à l'aide de ces deux nombres, puis factorisez les quatre termes deux par deux. Cette méthode marche toujours et ne demande jamais de deviner.
Des motifs à reconnaître
- Différence de deux carrés : x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
- Carré parfait : x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
- Facteur commun d'abord : 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), avant toute chose.
Exemples détaillés
Exemple 1
Question
Factorisez et résolvez : x^2 + 7x + 12 = 0
Réponse
x = -3 ou x = -4
Étapes
- 1Le coefficient dominant vaut 1, cherchez donc deux nombres de produit 12 et de somme 7.
- 2Ce sont 3 et 4.
- 3Donc x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
- 4Annulez chaque facteur : x + 3 = 0 donne x = -3, et x + 4 = 0 donne x = -4.
- 5Vérification : (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.
Exemple 2
Question
Factorisez et résolvez : x^2 - 5x - 14 = 0
Réponse
x = 7 ou x = -2
Étapes
- 1Deux nombres de produit -14 et de somme -5.
- 2Le produit est négatif, donc les nombres sont de signes opposés : -7 et 2.
- 3Donc x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
- 4Solutions : x = 7 et x = -2.
- 5Vérification : 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.
Un terme constant négatif signifie toujours que les deux nombres sont de signes opposés. Cela réduit de moitié la liste à explorer.
Exemple 3
Question
Factorisez et résolvez : 2x^2 + 5x - 3 = 0
Réponse
x = 1/2 ou x = -3
Étapes
- 1Le coefficient dominant ne vaut pas 1, utilisez donc a fois c : 2 x (-3) = -6.
- 2Cherchez deux nombres de produit -6 et de somme 5 : ce sont 6 et -1.
- 3Décomposez le terme du milieu : 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
- 4Factorisez deux par deux : 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
- 5Mettez la parenthèse commune en facteur : (2x - 1)(x + 3) = 0.
- 6Solutions : 2x - 1 = 0 donne x = 1/2, et x + 3 = 0 donne x = -3.
Erreurs fréquentes
Factoriser correctement puis oublier d'annuler chaque parenthèse.
La forme factorisée n'est pas la réponse à une équation. (x + 3)(x + 4) = 0 reste à résoudre.
Chercher des nombres de somme c et de produit b.
Produit c, somme b. Les inverser est de loin l'erreur la plus fréquente.
Manquer un facteur commun : factoriser 2x^2 + 10x + 12 sans sortir le 2 d'abord.
Cherchez toujours un facteur commun avant tout le reste. Cela simplifie tout ce qui suit.
Supposer que tout trinôme se factorise proprement.
Regardez le discriminant, b^2 - 4ac. S'il n'est pas un carré parfait, utilisez la formule plutôt que de chercher des facteurs qui n'existent pas.
À toi de t'entraîner
Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.
1. Factorisez et résolvez : x^2 + 9x + 20 = 0
Voir la réponse
(x + 4)(x + 5) = 0, donc x = -4 ou x = -5.
2. Factorisez et résolvez : x^2 - 36 = 0
Voir la réponse
Différence de deux carrés : (x - 6)(x + 6) = 0, donc x = 6 ou x = -6.
3. Factorisez et résolvez : 3x^2 - 10x + 8 = 0
Voir la réponse
a fois c = 24, et -6 et -4 ont pour somme -10. Cela donne (3x - 4)(x - 2) = 0, donc x = 4/3 ou x = 2.
Les questions qu'on nous pose
- Comment savoir si un trinôme se factorise ?
- Calculez le discriminant, b^2 - 4ac. S'il est un carré parfait, le trinôme se factorise sur les entiers. Sinon, ne perdez pas votre temps à chercher.
- La factorisation est-elle plus rapide que la formule ?
- Quand elle marche, oui, nettement. Quand elle ne marche pas, c'est pire qu'inutile, car vous perdez le temps et devez quand même utiliser la formule.
- Pourquoi annuler chaque facteur fonctionne-t-il ?
- Parce que la seule façon qu'un produit de deux nombres soit nul, c'est qu'au moins l'un d'eux le soit. C'est la règle du produit nul, et c'est toute la raison de factoriser.
- Et s'il n'y a pas de terme constant ?
- Mettez x en facteur : x^2 - 5x = x(x - 5), donc x = 0 ou x = 5. Diviser les deux membres par x fait perdre la solution x = 0.
Tu en as un sous les yeux ?
Sélectionne l'exercice sur la page ou capture-le avec Cmd/Ctrl + Maj + S, et Solvecoon le déroule avec toi.
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