Solvecoon

Jak rozkładać równania kwadratowe na czynniki

Rozkład na czynniki zamienia trójmian w iloczyn dwóch nawiasów, a iloczyn równa się zeru tylko wtedy, gdy zeru równa się jeden z czynników. Ten jeden fakt tłumaczy, dlaczego rozkład w ogóle rozwiązuje równania.

Gdy współczynnik przy x^2 wynosi 1

  • Dla x^2 + bx + c znajdź dwie liczby o iloczynie c i sumie b.
  • Te dwie liczby wchodzą wprost do nawiasów: (x + p)(x + q).
  • Przyrównaj każdy nawias do zera i rozwiąż.

Gdy nie wynosi 1

Dla ax^2 + bx + c znajdź dwie liczby o iloczynie a razy c i sumie b. Rozbij środkowy wyraz za pomocą tych dwóch liczb, a potem wyłącz wspólne czynniki z czterech wyrazów parami. Ta metoda działa zawsze i nigdy nie wymaga zgadywania.

Wzory warte rozpoznania

  • Różnica kwadratów: x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
  • Kwadrat sumy: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.
  • Najpierw wspólny czynnik: 2x^2 + 8x = 2x(x + 4), przed czymkolwiek innym.

Rozpisane przykłady

Przykład 1

Pytanie

Rozłóż na czynniki i rozwiąż: x^2 + 7x + 12 = 0

Odpowiedź

x = -3 albo x = -4

Kroki

  1. 1Współczynnik przy x^2 wynosi 1, więc szukaj dwóch liczb o iloczynie 12 i sumie 7.
  2. 2To 3 i 4.
  3. 3Zatem x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
  4. 4Przyrównaj każdy czynnik do zera: x + 3 = 0 daje x = -3, a x + 4 = 0 daje x = -4.
  5. 5Sprawdzenie: (-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0.

Przykład 2

Pytanie

Rozłóż na czynniki i rozwiąż: x^2 - 5x - 14 = 0

Odpowiedź

x = 7 albo x = -2

Kroki

  1. 1Dwie liczby o iloczynie -14 i sumie -5.
  2. 2Iloczyn jest ujemny, więc liczby mają przeciwne znaki: -7 i 2.
  3. 3Zatem x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
  4. 4Rozwiązania: x = 7 i x = -2.
  5. 5Sprawdzenie: 7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0.

Ujemny wyraz wolny zawsze oznacza, że obie liczby mają przeciwne znaki. To o połowę skraca listę do przeszukania.

Przykład 3

Pytanie

Rozłóż na czynniki i rozwiąż: 2x^2 + 5x - 3 = 0

Odpowiedź

x = 1/2 albo x = -3

Kroki

  1. 1Współczynnik przy x^2 nie wynosi 1, więc użyj a razy c: 2 x (-3) = -6.
  2. 2Znajdź dwie liczby o iloczynie -6 i sumie 5: to 6 i -1.
  3. 3Rozbij środkowy wyraz: 2x^2 + 6x - x - 3 = 0.
  4. 4Wyłącz czynniki parami: 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0.
  5. 5Wyłącz wspólny nawias: (2x - 1)(x + 3) = 0.
  6. 6Rozwiązania: 2x - 1 = 0 daje x = 1/2, a x + 3 = 0 daje x = -3.

Częste błędy

Poprawny rozkład i zapomnienie o przyrównaniu każdego nawiasu do zera.

Postać iloczynowa nie jest odpowiedzią na równanie. (x + 3)(x + 4) = 0 wciąż trzeba rozwiązać.

Szukanie liczb o sumie c i iloczynie b.

Iloczyn c, suma b. Pomylenie tych dwóch to zdecydowanie najczęstsze potknięcie.

Przeoczenie wspólnego czynnika: rozkładanie 2x^2 + 10x + 12 bez wcześniejszego wyłączenia 2.

Zawsze najpierw sprawdź wspólny czynnik. Ułatwia to wszystko, co następuje potem.

Założenie, że każdy trójmian ładnie się rozkłada.

Sprawdź wyróżnik, b^2 - 4ac. Jeśli nie jest kwadratem liczby całkowitej, użyj wzorów zamiast szukać nieistniejących czynników.

Poćwicz

Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.

  • 1. Rozłóż i rozwiąż: x^2 + 9x + 20 = 0

    Pokaż odpowiedź

    (x + 4)(x + 5) = 0, czyli x = -4 albo x = -5.

  • 2. Rozłóż i rozwiąż: x^2 - 36 = 0

    Pokaż odpowiedź

    Różnica kwadratów: (x - 6)(x + 6) = 0, czyli x = 6 albo x = -6.

  • 3. Rozłóż i rozwiąż: 3x^2 - 10x + 8 = 0

    Pokaż odpowiedź

    a razy c = 24, a -6 i -4 dają sumę -10. Wychodzi (3x - 4)(x - 2) = 0, czyli x = 4/3 albo x = 2.

O co ludzie pytają

Jak poznać, czy trójmian da się rozłożyć?
Policz wyróżnik, b^2 - 4ac. Jeśli jest kwadratem liczby całkowitej, trójmian rozkłada się w liczbach całkowitych. Jeśli nie, nie trać czasu na szukanie.
Czy rozkład jest szybszy od wzorów na pierwiastki?
Gdy działa, to zdecydowanie tak. Gdy nie działa, jest gorszy niż bezużyteczny, bo tracisz czas i i tak musisz sięgnąć po wzory.
Dlaczego przyrównywanie czynników do zera działa?
Bo iloczyn dwóch liczb jest zerem tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest zerem. To własność iloczynu zerowego i cały powód, dla którego rozkładamy.
A jeśli nie ma wyrazu wolnego?
Wyłącz x: x^2 - 5x = x(x - 5), czyli x = 0 albo x = 5. Dzielenie obu stron przez x gubi rozwiązanie x = 0.
Szop, maskotka Solvecoon

Masz jedno przed sobą?

Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.

Dodaj do Chrome →

Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.