Solvecoon一元二次方程怎么因式分解
因式分解把二次式变成两个括号的乘积，而乘积等于零，只可能是某个因式等于零。仅凭这一点，因式分解才能解方程。
二次项系数为 1 时
- 对 x^2 + bx + c，找两个数，乘积为 c，和为 b。
- 这两个数直接填进括号：(x + p)(x + q)。
- 令每个括号为零并求解。
系数不为 1 时
对 ax^2 + bx + c，找两个数，乘积为 a 乘 c，和为 b。用这两个数把中间项拆开，再把四项两两分组提取公因式。这个方法永远有效，也不需要靠猜。
值得认出来的形式
- 平方差：x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)。
- 完全平方：x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2。
- 先提公因式：2x^2 + 8x = 2x(x + 4)，先于其他任何一步。
例题详解
例 1
题目
因式分解并求解：x^2 + 7x + 12 = 0
答案
x = -3 或 x = -4
步骤
- 1二次项系数是 1，所以找乘积为 12、和为 7 的两个数。
- 2它们是 3 和 4。
- 3于是 x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)。
- 4令每个因式为零：x + 3 = 0 得 x = -3，x + 4 = 0 得 x = -4。
- 5检验：(-3)^2 + 7(-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0。
例 2
题目
因式分解并求解：x^2 - 5x - 14 = 0
答案
x = 7 或 x = -2
步骤
- 1找乘积为 -14、和为 -5 的两个数。
- 2乘积为负，说明两数异号：-7 和 2。
- 3于是 x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)。
- 4解为 x = 7 和 x = -2。
- 5检验：7^2 - 5(7) - 14 = 49 - 35 - 14 = 0。
常数项为负，总意味着这两个数异号。仅此一点就把要搜索的组合减半。
例 3
题目
因式分解并求解：2x^2 + 5x - 3 = 0
答案
x = 1/2 或 x = -3
步骤
- 1二次项系数不是 1，所以用 a 乘 c：2 x (-3) = -6。
- 2找乘积为 -6、和为 5 的两个数：是 6 和 -1。
- 3拆开中间项：2x^2 + 6x - x - 3 = 0。
- 4两两分组提取：2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0。
- 5提出公共括号：(2x - 1)(x + 3) = 0。
- 6解：2x - 1 = 0 得 x = 1/2，x + 3 = 0 得 x = -3。
常见错误
分解正确，却忘了令每个括号为零。
分解后的形式并不是方程的答案。(x + 3)(x + 4) = 0 仍然需要求解。
去找和为 c、乘积为 b 的数。
乘积为 c，和为 b。把这两者搞反是最常见的疏忽。
漏掉公因式：分解 2x^2 + 10x + 12 时没有先提出 2。
永远先检查公因式。它会让后面的每一步都更容易。
以为任何二次式都能分解得漂亮。
看判别式 b^2 - 4ac。它若不是完全平方数，就用求根公式，而不是去找根本不存在的因式。
动手练一练
先自己算，再打开答案。算到一半卡住了？选中题目，问 Solvecoon 你缺的那一步。
1. 因式分解并求解：x^2 + 9x + 20 = 0
查看答案
(x + 4)(x + 5) = 0，所以 x = -4 或 x = -5。
2. 因式分解并求解：x^2 - 36 = 0
查看答案
平方差：(x - 6)(x + 6) = 0，所以 x = 6 或 x = -6。
3. 因式分解并求解：3x^2 - 10x + 8 = 0
查看答案
a 乘 c = 24，而 -6 与 -4 的和是 -10。得到 (3x - 4)(x - 2) = 0，所以 x = 4/3 或 x = 2。
大家常问的问题
- 怎么判断一个二次式能不能分解？
- 算判别式 b^2 - 4ac。若它是完全平方数，就能在整数范围内分解；若不是，别浪费时间去找。
- 因式分解比求根公式快吗？
- 行得通时快得多。行不通时则比没用还糟，因为时间花了，最后还得用公式。
- 为什么令每个因式为零就能求解？
- 因为两个数相乘等于零，只可能其中至少一个为零。这就是零乘积性质，也是因式分解的全部理由。
- 如果没有常数项呢？
- 把 x 提出来：x^2 - 5x = x(x - 5)，所以 x = 0 或 x = 5。两边同除以 x 会丢掉 x = 0 这个解。