La formule quadratique, expliquée
La formule quadratique résout toutes les équations du second degré, y compris celles qui ne se factorisent pas. Lire d'abord le discriminant vous dit quel type de réponse attendre, et c'est ainsi que vous repérez une erreur de calcul avant qu'elle ne devienne une mauvaise réponse.
La formule
Pour toute équation de la forme ax^2 + bx + c = 0, les solutions sont x = (-b plus ou moins la racine carrée de (b^2 - 4ac)) le tout divisé par 2a. Écrivez d'abord l'équation sous cette forme standard, avec tout d'un côté et zéro de l'autre.
Lisez d'abord le discriminant
- b^2 - 4ac supérieur à zéro : deux solutions réelles distinctes.
- b^2 - 4ac égal à zéro : une solution réelle double.
- b^2 - 4ac inférieur à zéro : aucune solution réelle.
- Un discriminant carré parfait signifie que le trinôme se serait aussi factorisé.
Identifier a, b et c
Les signes appartiennent aux coefficients. Dans x^2 - 4x + 1, b vaut -4, pas 4. Écrire a, b et c explicitement avant de substituer est l'habitude qui évite la plupart des erreurs avec cette formule.
Exemples détaillés
Exemple 1
Question
Résolvez : 2x^2 + 3x - 5 = 0
Réponse
x = 1 ou x = -5/2
Étapes
- 1Identifiez : a = 2, b = 3, c = -5.
- 2Discriminant : 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, un carré parfait, attendez-vous donc à deux réponses nettes.
- 3La racine carrée de 49 vaut 7.
- 4Substituez : x = (-3 plus ou moins 7) / (2 x 2) = (-3 plus ou moins 7) / 4.
- 5Première racine : (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
- 6Seconde racine : (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.
Un discriminant carré parfait signifie que celle-ci se factorise en (2x + 5)(x - 1) = 0. Les deux chemins donnent les mêmes réponses.
Exemple 2
Question
Résolvez : x^2 - 4x + 1 = 0
Réponse
x = 2 + racine de 3 ou x = 2 - racine de 3
Étapes
- 1Identifiez : a = 1, b = -4, c = 1. Notez que b est négatif.
- 2Discriminant : (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Positif mais pas carré parfait, donc les racines sont irrationnelles.
- 3Substituez : x = (4 plus ou moins racine de 12) / 2.
- 4Simplifiez le radical : racine de 12 = 2 racine de 3.
- 5Donc x = (4 plus ou moins 2 racine de 3) / 2 = 2 plus ou moins racine de 3.
Diviser chaque terme par 2 à la fin est obligatoire. Simplifier seulement le 4 en laissant racine de 12 sur 2 est une demi-simplification très répandue.
Exemple 3
Question
Résolvez : x^2 + 2x + 5 = 0
Réponse
Aucune solution réelle
Étapes
- 1Identifiez : a = 1, b = 2, c = 5.
- 2Discriminant : 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
- 3Le discriminant est négatif, la racine carrée n'a donc pas de valeur réelle.
- 4Par conséquent l'équation n'a aucune solution réelle, et la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses.
- 5Si votre programme couvre les nombres complexes, les solutions sont x = -1 plus ou moins 2i.
Erreurs fréquentes
Perdre le signe de b : prendre b = 4 dans x^2 - 4x + 1.
b vaut -4. Écrivez a, b et c avec leurs signes avant de substituer quoi que ce soit.
Ne diviser qu'une partie du numérateur par 2a.
Le numérateur entier est divisé. Gardez-le sur une seule barre de fraction jusqu'à la dernière étape.
Utiliser la formule avant de réécrire sous forme standard.
Tout d'un côté, zéro de l'autre, puis identifiez a, b et c.
Signaler un discriminant négatif comme une erreur.
C'est une réponse. Aucune solution réelle est une réponse complète, sauf si le programme attend des racines complexes.
À toi de t'entraîner
Résous-les d'abord, puis ouvre la réponse. Bloqué à mi-chemin ? Sélectionne l'exercice et demande à Solvecoon l'étape qui te manque.
1. Résolvez : x^2 - 7x + 10 = 0
Voir la réponse
Discriminant 9, donc x = (7 plus ou moins 3)/2, ce qui donne x = 5 ou x = 2.
2. Résolvez : 3x^2 + 2x - 1 = 0
Voir la réponse
Discriminant 16, donc x = (-2 plus ou moins 4)/6, ce qui donne x = 1/3 ou x = -1.
3. Résolvez : 4x^2 - 4x + 1 = 0
Voir la réponse
Discriminant 0, donc une racine double : x = 1/2.
Les questions qu'on nous pose
- Quand utiliser la formule plutôt que la factorisation ?
- Dès que le discriminant n'est pas un carré parfait, ou dès que vous cherchez des facteurs depuis plus d'une vingtaine de secondes.
- La formule marche-t-elle toujours ?
- Pour toute équation du second degré, oui. La factorisation ne marche que pour certaines. C'est cette fiabilité qui justifie de la retenir par cœur.
- Que signifie le discriminant graphiquement ?
- Il compte combien de fois la parabole coupe l'axe des abscisses : deux fois, une fois en la touchant, ou pas du tout.
- Faut-il garder les radicaux ou passer aux décimaux ?
- Gardez la forme exacte sauf si la question demande un décimal. 2 plus racine de 3 est exact ; 3,73 est arrondi.
Tu en as un sous les yeux ?
Sélectionne l'exercice sur la page ou capture-le avec Cmd/Ctrl + Maj + S, et Solvecoon le déroule avec toi.
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