La fórmula general, explicada
La fórmula general resuelve todas las ecuaciones de segundo grado, incluidas las que no factorizan. Leer primero el discriminante te dice qué tipo de respuesta esperar, y así detectas un desliz aritmético antes de que se convierta en una respuesta incorrecta.
La fórmula
Para cualquier ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, las soluciones son x = (-b más o menos la raíz cuadrada de (b^2 - 4ac)) todo dividido entre 2a. Escribe antes la ecuación en esa forma estándar, con todo a un lado y cero al otro.
Lee primero el discriminante
- b^2 - 4ac mayor que cero: dos soluciones reales distintas.
- b^2 - 4ac igual a cero: una solución real doble.
- b^2 - 4ac menor que cero: ninguna solución real.
- Un discriminante que es cuadrado perfecto significa que la ecuación también habría factorizado.
Identificar a, b y c
Los signos pertenecen a los coeficientes. En x^2 - 4x + 1, b es -4, no 4. Escribir a, b y c de forma explícita antes de sustituir es la costumbre que evita casi todos los errores con esta fórmula.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Pregunta
Resuelve: 2x^2 + 3x - 5 = 0
Respuesta
x = 1 o x = -5/2
Pasos
- 1Identifica: a = 2, b = 3, c = -5.
- 2Discriminante: 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49, un cuadrado perfecto, así que espera dos respuestas limpias.
- 3La raíz cuadrada de 49 es 7.
- 4Sustituye: x = (-3 más o menos 7) / (2 x 2) = (-3 más o menos 7) / 4.
- 5Primera raíz: (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1.
- 6Segunda raíz: (-3 - 7)/4 = -10/4 = -5/2.
Un discriminante cuadrado perfecto significa que esta factoriza como (2x + 5)(x - 1) = 0. Los dos caminos dan las mismas respuestas.
Ejemplo 2
Pregunta
Resuelve: x^2 - 4x + 1 = 0
Respuesta
x = 2 + raíz de 3 o x = 2 - raíz de 3
Pasos
- 1Identifica: a = 1, b = -4, c = 1. Fíjate en que b es negativo.
- 2Discriminante: (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12. Positivo pero no cuadrado perfecto, así que las raíces son irracionales.
- 3Sustituye: x = (4 más o menos raíz de 12) / 2.
- 4Simplifica el radical: raíz de 12 = 2 raíz de 3.
- 5Así que x = (4 más o menos 2 raíz de 3) / 2 = 2 más o menos raíz de 3.
Dividir todos los términos entre 2 al final es obligatorio. Cancelar solo el 4 y dejar raíz de 12 entre 2 es una simplificación a medias muy común.
Ejemplo 3
Pregunta
Resuelve: x^2 + 2x + 5 = 0
Respuesta
Ninguna solución real
Pasos
- 1Identifica: a = 1, b = 2, c = 5.
- 2Discriminante: 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
- 3El discriminante es negativo, así que la raíz cuadrada no tiene valor real.
- 4Por tanto la ecuación no tiene soluciones reales, y la parábola nunca corta el eje x.
- 5Si tu curso incluye números complejos, las soluciones son x = -1 más o menos 2i.
Errores habituales
Perder el signo de b: usar b = 4 en x^2 - 4x + 1.
b es -4. Escribe a, b y c con sus signos antes de sustituir nada.
Dividir solo una parte del numerador entre 2a.
Se divide el numerador entero. Mantenlo sobre una única raya de fracción hasta el último paso.
Usar la fórmula antes de reordenar a la forma estándar.
Todo a un lado, cero al otro, y luego identifica a, b y c.
Dar un discriminante negativo por error.
Es una respuesta. Ninguna solución real es una respuesta completa, salvo que el curso espere raíces complejas.
Practícalo
Resuélvelos primero tú y luego abre la respuesta. ¿Atascado a medias? Selecciona el problema y pídele a Solvecoon el paso que te falta.
1. Resuelve: x^2 - 7x + 10 = 0
Ver la respuesta
Discriminante 9, así que x = (7 más o menos 3)/2, dando x = 5 o x = 2.
2. Resuelve: 3x^2 + 2x - 1 = 0
Ver la respuesta
Discriminante 16, así que x = (-2 más o menos 4)/6, dando x = 1/3 o x = -1.
3. Resuelve: 4x^2 - 4x + 1 = 0
Ver la respuesta
Discriminante 0, así que una raíz doble: x = 1/2.
Lo que suele preguntarse
- ¿Cuándo debo usar la fórmula en vez de factorizar?
- Siempre que el discriminante no sea un cuadrado perfecto, o siempre que lleves más de unos veinte segundos buscando factores.
- ¿La fórmula funciona siempre?
- Para toda ecuación de segundo grado, sí. Factorizar solo funciona con algunas. Esa fiabilidad es lo que hace que valga la pena memorizarla.
- ¿Qué significa el discriminante gráficamente?
- Cuenta cuántas veces corta la parábola al eje x: dos, una tocándolo, o ninguna.
- ¿Dejo los radicales o paso a decimales?
- Deja la forma exacta salvo que la pregunta pida un decimal. 2 más raíz de 3 es exacto; 3,73 está redondeado.
¿Tienes uno delante?
Selecciona el problema en la página o captúralo con Cmd/Ctrl + Mayús + S, y Solvecoon lo resuelve contigo.
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