積分とは何か
微分が「どれだけ速く変化しているか」を問うのに対し、積分は「どれだけ積み上がったか」を問います。図形的には曲線の下の面積であり、物理的には割合が積み上げた総量です。
面積というより累積
曲線の下の領域を細い長方形に切り、その面積を足し合わせ、切片をどんどん細くします。その和の極限が積分です。面積は絵であって、考え方は累積です。曲線が速さなら、面積は距離になります。
不定積分と定積分
- 不定積分には範囲がなく、関数の族を与えます。だから最後に プラス C が付きます。
- 定積分には範囲があり、1つの数を与えます。
- 定積分では、原始関数を上端で評価し、下端での値を引きます。
なぜ プラス C か
微分は定数を消し去ります。x^2 + 7 も x^2 - 3 も微分すれば 2x です。逆をたどってもどの定数だったかは復元できないので、不定積分は必ず未知の定数を伴います。定積分では引き算で定数が消えるため、そこには決して書きません。
解いてみる例
例 1
問題
2x の x についての不定積分を求めなさい。
答え
x^2 + C
手順
- 1微分して 2x になる関数は何かと問う。
- 2べき乗の公式の逆: 指数を1上げ、その新しい指数で割る。
- 32x は 2x^2 / 2 = x^2 になる。
- 4積分定数を加える: x^2 + C。
- 5微分して確認: x^2 + C の導関数は 2x。
例 2
問題
2x の 0 から 3 までの定積分を求めなさい。
答え
9
手順
- 1まず原始関数を求める: x^2。
- 2上端で評価: 3^2 = 9。
- 3下端で評価: 0^2 = 0。
- 4引く: 9 - 0 = 9。
- 5定数は現れません。引き算で消えてしまうからです。
図形的には底辺3、高さ6の三角形の面積で、これも9です。2つの方法は当然ながら一致します。
例 3
問題
車の速度が v(t) = 6t m/s です。最初の4秒でどれだけ進みますか。
答え
48メートル
手順
- 1距離は速度の累積なので、v(t) を 0 から 4 まで積分します。
- 26t の原始関数は 3t^2。
- 3上端で: 3(4)^2 = 48。
- 4下端で: 3(0)^2 = 0。
- 5引く: 48 - 0 = 48 メートル。
よくあるつまずき
不定積分で プラス C を書き忘れる。
不定積分には必ず付きます。多くの採点基準では1点分です。
定積分に プラス C を書く。
引き算で消えるので、定積分の答えには決して現れません。
上端と下端を逆に引く。
必ず上端引く下端です。逆にすると答えの符号が反転します。
定積分がいつでも実際の面積だと思い込む。
軸より下では積分は負に寄与します。全体の面積を求めるなら、交点で分けて絶対値をとります。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. 3x^2 を x について積分しなさい。
答えを見る
x^3 + C。微分して確認しましょう。
2. 4x の 1 から 2 までの積分を求めなさい。
答えを見る
6。原始関数は 2x^2 なので 8 - 2 = 6。
3. (x + 1) を x について積分しなさい。
答えを見る
x^2/2 + x + C。
よく聞かれること
- 積分は面積のことにすぎないのですか。
- 面積は絵で、意味は累積です。速さを積分すれば距離になり、流量を積分すれば体積になります。
- 積分はどう確かめますか。
- 自分の答えを微分します。もとの関数に戻らなければ積分が誤りです。この確認は数秒で終わります。
- 定積分で定数が効かないのはなぜですか。
- 上端と下端の両方に現れて引き算で消えるので、答えの数に影響しようがないからです。
- 積分が負になることはありますか。
- あります。その区間で曲線が軸より下にあるときです。誤りではなく正しいふるまいです。
いま目の前にありますか？
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