微分係数とは何か
微分は、ある区間の平均としてではなく、ただ1つの瞬間に何かがどれだけ速く変化しているかを測ります。グラフでは、曲線上の1点における接線の傾きです。
平均から瞬間へ
曲線上の2点を結ぶ傾きは平均変化率、つまり縦の変化を横の変化で割ったものです。2つめの点を1つめにどんどん近づけると、その平均はある1つの数に近づきます。その極限が微分係数であり、曲線をちょうど1点で言い表します。
記法
- f'(x) は f プライム x と読み、関数 f の導関数を表す。
- dy/dx は y の x に関する導関数。これは1つの記号であって分数ではない。
- どちらも同じ意味で、課程によって好まれる記法が異なります。
べき乗の公式
f(x) = x^n のとき、導関数は f'(x) = n x^(n-1) です。指数を前に下ろしてかけ算にし、指数を1減らします。最初に出会う導関数のほとんどは、この公式に定数倍が付いただけのものです。
解いてみる例
例 1
問題
f(x) = x^2 の導関数を求め、x = 3 での値を求めなさい。
答え
f'(x) = 2x なので f'(3) = 6
手順
- 1n = 2 でべき乗の公式を使う: 2 を下ろし、指数を1にする。
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x。
- 3x = 3 を代入: f'(3) = 6。
- 4意味: 点 (3, 9) で、曲線は横に1進むごとに高さが6上がっています。
導関数は数ではなく関数です。x ごとに違う傾きを与え、1つ代入して初めて数になります。
例 2
問題
f(x) = 3x^4 の導関数を求めなさい。
答え
f'(x) = 12x^3
手順
- 1定数倍の3はそのまま残って結果にかかります。
- 2x^4 にべき乗の公式を使う: 4x^3 になる。
- 3前の3をかける: 3 x 4x^3 = 12x^3。
例 3
問題
ある物体の位置が t 秒後に s(t) = 5t^2 メートルです。t = 2 での速度を求めなさい。
答え
20 m/s
手順
- 1速度は位置の時間に関する導関数です。
- 2微分する: s'(t) = 5 x 2t = 10t。
- 3t = 2 を代入: s'(2) = 20。
- 4単位はもとの式から来ます: メートル毎秒。
だから物理で微分が効いてきます。位置を微分すると速度になり、速度をもう一度微分すると加速度になります。
よくあるつまずき
導関数を関数ではなく数として扱う。
f'(x) は関数、f'(3) は数です。設問はどちらかを求めているので、よく読みましょう。
定数を微分してその定数を得る。
どんな定数の導関数も0です。定数は決して変化しないからです。
指数を下げるのに、それをかけ算として下ろすのを忘れる。
両方が起きます。x^5 は x^4 ではなく 5x^4 になります。
e^(2x) のようなものにべき乗の公式を使う。
べき乗の公式は、変数を定数乗した形に使うものです。指数関数や合成関数にはそれぞれの規則があります。
練習する
まず自分で解いてから、答えを開いてください。途中で止まったら、問題を選んで足りない手順を Solvecoon に聞いてみましょう。
1. f(x) = x^5 を微分しなさい。
答えを見る
f'(x) = 5x^4。
2. f(x) = 7x を微分しなさい。
答えを見る
f'(x) = 7。直線の傾きは一定です。
3. f(x) = x^2 + 3x を微分し、x = 1 での値を求めなさい。
答えを見る
f'(x) = 2x + 3 なので f'(1) = 5。
よく聞かれること
- 微分係数を平たく言うと何ですか。
- 入力が変わったとき、ちょうどその瞬間に出力がどれだけ速く変わるか、です。速さは距離の導関数で、これがいちばんわかりやすい日常の例です。
- 定義になぜ極限が必要なのですか。
- 傾きには2点が要るのに、私たちは1点での傾きが欲しいからです。極限は、1点での傾きに意味を与える仕掛けです。
- 導関数が負なのはどういう意味ですか。
- その点で関数が減少しているということです。負の値が大きいほど、速く下がっています。
- 導関数が0のときは。
- 曲線は一瞬平らです。極大、極小、または変曲点です。そうした点を見つけることが最適化問題の土台です。
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