¿Qué es una derivada?
Una derivada mide con qué rapidez cambia algo en un instante concreto, en vez de en promedio a lo largo de un intervalo. Gráficamente es la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.
Del promedio al instante
La pendiente entre dos puntos de una curva es una tasa de cambio media: incremento vertical entre incremento horizontal. Desliza el segundo punto cada vez más cerca del primero y ese promedio se aproxima a un único número. Ese límite es la derivada, y describe la curva en exactamente un punto.
Notación
- f'(x) se lee f prima de x: la derivada de la función f.
- dy/dx es la derivada de y respecto de x. Es un único símbolo, no una fracción.
- Las dos significan lo mismo; cada curso prefiere una notación.
La regla de la potencia
Para f(x) = x^n, la derivada es f'(x) = n x^(n-1). Baja el exponente como multiplicador y réstale uno al exponente. Casi todas las derivadas que verás al principio son esta regla más un multiplicador constante.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Pregunta
Halla la derivada de f(x) = x^2 y evalúala en x = 3.
Respuesta
f'(x) = 2x, así que f'(3) = 6
Pasos
- 1Aplica la regla de la potencia con n = 2: baja el 2 y reduce el exponente a 1.
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x.
- 3Sustituye x = 3: f'(3) = 6.
- 4Significado: en el punto (3, 9) la curva sube 6 unidades de altura por cada unidad de avance.
La derivada es una función, no un número. Da una pendiente distinta en cada x, y solo obtienes un número al sustituir una.
Ejemplo 2
Pregunta
Halla la derivada de f(x) = 3x^4.
Respuesta
f'(x) = 12x^3
Pasos
- 1El multiplicador constante 3 se queda y multiplica el resultado.
- 2Aplica la regla de la potencia a x^4: se convierte en 4x^3.
- 3Multiplica por el 3 de delante: 3 x 4x^3 = 12x^3.
Ejemplo 3
Pregunta
La posición de un objeto es s(t) = 5t^2 metros a los t segundos. Halla su velocidad en t = 2.
Respuesta
20 m/s
Pasos
- 1La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo.
- 2Deriva: s'(t) = 5 x 2t = 10t.
- 3Sustituye t = 2: s'(2) = 20.
- 4Las unidades vienen de la original: metros por segundo.
Por esto importan las derivadas en física. La posición se deriva en velocidad, y la velocidad se deriva otra vez en aceleración.
Errores habituales
Tratar la derivada como un número en vez de como una función.
f'(x) es una función. f'(3) es un número. Las preguntas piden una u otra, así que lee con atención.
Derivar una constante y obtener la propia constante.
La derivada de cualquier constante es cero, porque una constante nunca cambia.
Reducir el exponente pero olvidar bajarlo como multiplicador.
Ocurren las dos cosas. x^5 se convierte en 5x^4, no en x^4.
Usar la regla de la potencia con algo como e^(2x).
La regla de la potencia vale para una variable elevada a una potencia constante. Las exponenciales y las composiciones tienen sus propias reglas.
Practícalo
Resuélvelos primero tú y luego abre la respuesta. ¿Atascado a medias? Selecciona el problema y pídele a Solvecoon el paso que te falta.
1. Deriva f(x) = x^5.
Ver la respuesta
f'(x) = 5x^4.
2. Deriva f(x) = 7x.
Ver la respuesta
f'(x) = 7. Una recta tiene pendiente constante.
3. Deriva f(x) = x^2 + 3x y evalúa en x = 1.
Ver la respuesta
f'(x) = 2x + 3, así que f'(1) = 5.
Lo que suele preguntarse
- ¿Qué significa la derivada en palabras llanas?
- Con qué rapidez cambia la salida cuando cambia la entrada, justo en ese momento. La velocidad es la derivada de la distancia, y es el ejemplo cotidiano más claro.
- ¿Por qué hacen falta límites para definirla?
- Porque la pendiente necesita dos puntos y nosotros queremos la pendiente en uno. El límite es la maquinaria que hace que una pendiente en un punto tenga sentido.
- ¿Qué significa una derivada negativa?
- Que la función decrece en ese punto. Cuanto más negativo el valor, más rápido cae.
- ¿Y si la derivada es cero?
- La curva está momentáneamente plana: un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Encontrar esos puntos es la base de los problemas de optimización.
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