O que é uma derivada?
Uma derivada mede o quão rápido algo está mudando num único instante, em vez da média ao longo de um intervalo. No gráfico, é a inclinação da reta tangente num ponto da curva.
Da média ao instantâneo
A inclinação entre dois pontos de uma curva é uma taxa de variação média: variação vertical sobre variação horizontal. Deslize o segundo ponto cada vez mais perto do primeiro e essa média se aproxima de um único número. Esse limite é a derivada, e ele descreve a curva em exatamente um ponto.
Notação
- f'(x) se lê f linha de x: a derivada da função f.
- dy/dx é a derivada de y em relação a x. É um símbolo único, não uma fração.
- As duas significam a mesma coisa; cursos diferentes preferem notações diferentes.
A regra da potência
Para f(x) = x^n, a derivada é f'(x) = n x^(n-1). Traga o expoente para baixo como multiplicador e diminua o expoente em um. Quase toda derivada que você encontra no começo é essa regra mais um multiplicador constante.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Questão
Ache a derivada de f(x) = x^2 e calcule em x = 3.
Resposta
f'(x) = 2x, então f'(3) = 6
Passos
- 1Aplique a regra da potência com n = 2: traga o 2 para baixo e reduza o expoente para 1.
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x.
- 3Substitua x = 3: f'(3) = 6.
- 4Significado: no ponto (3, 9) a curva sobe 6 unidades de altura por unidade na horizontal.
A derivada é uma função, não um número. Ela dá uma inclinação diferente para cada x, e você só obtém um número substituindo um deles.
Exemplo 2
Questão
Ache a derivada de f(x) = 3x^4.
Resposta
f'(x) = 12x^3
Passos
- 1O multiplicador constante 3 fica e multiplica o resultado.
- 2Aplique a regra da potência a x^4: vira 4x^3.
- 3Multiplique pelo 3 da frente: 3 x 4x^3 = 12x^3.
Exemplo 3
Questão
A posição de um objeto é s(t) = 5t^2 metros após t segundos. Ache a velocidade em t = 2.
Resposta
20 m/s
Passos
- 1Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
- 2Derive: s'(t) = 5 x 2t = 10t.
- 3Substitua t = 2: s'(2) = 20.
- 4As unidades vêm da função original: metros por segundo.
É por isso que derivadas importam na física. Posição deriva para velocidade, e velocidade deriva de novo para aceleração.
Erros comuns
Tratar a derivada como número em vez de função.
f'(x) é uma função. f'(3) é um número. As questões pedem uma coisa ou outra, então leia com atenção.
Derivar uma constante e obter a própria constante.
A derivada de qualquer constante é zero, porque uma constante nunca muda.
Reduzir o expoente e esquecer de trazê-lo para baixo como multiplicador.
As duas coisas acontecem. x^5 vira 5x^4, não x^4.
Usar a regra da potência em algo como e^(2x).
A regra da potência vale para uma variável elevada a um expoente constante. Exponenciais e compostas têm regras próprias.
Pratique
Resolva primeiro, depois abra a resposta. Travou no meio? Selecione o problema e peça ao Solvecoon o passo que está faltando.
1. Derive f(x) = x^5.
Ver a resposta
f'(x) = 5x^4.
2. Derive f(x) = 7x.
Ver a resposta
f'(x) = 7. Uma reta tem inclinação constante.
3. Derive f(x) = x^2 + 3x e calcule em x = 1.
Ver a resposta
f'(x) = 2x + 3, então f'(1) = 5.
O que as pessoas perguntam
- O que a derivada significa em palavras simples?
- O quão rápido a saída muda quando a entrada muda, naquele exato momento. Velocidade é a derivada da distância, e é o exemplo cotidiano mais claro.
- Por que precisamos de limites para defini-la?
- Porque inclinação precisa de dois pontos e queremos a inclinação em um. O limite é a maquinaria que dá sentido a uma inclinação num ponto.
- O que significa uma derivada negativa?
- Que a função está decrescendo naquele ponto. Quanto mais negativo o valor, mais rápido ela cai.
- E se a derivada for zero?
- A curva está momentaneamente plana: um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão. Achar esses pontos é a base dos problemas de otimização.
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