Derivada x integral
São operações opostas sobre a mesma relação. A derivada pega um total e devolve a taxa; a integral pega uma taxa e devolve o total. Quase toda confusão entre as duas é, na verdade, uma dúvida sobre qual delas foi dada.
A versão curta
- Derivada: taxa de variação num instante. Entra uma função, sai a função da inclinação.
- Integral: total acumulado num intervalo. Entra uma taxa, sai a quantidade acumulada.
- Derivar e depois integrar leva de volta ao ponto de partida, a menos de uma constante.
A figura física
Posição deriva para velocidade, e velocidade deriva para aceleração. No sentido contrário, aceleração integra para velocidade, e velocidade integra para posição. As mesmas três grandezas, lidas em direções opostas.
O que a questão quer?
- Quão rápido, a que taxa, inclinação ou marginal: derivada.
- Total, área sob, acumulado ou variação líquida: integral.
- Máximo ou mínimo: derivada, porque é onde a inclinação é zero.
- Dada uma taxa, achar a quantidade: integral.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Questão
Derive x^3 e depois integre o resultado. O que volta?
Resposta
x^3 + C, a função original a menos de uma constante
Passos
- 1Derive x^3 pela regra da potência: 3x^2.
- 2Agora integre 3x^2: aumente o expoente e divida, dando 3x^3 / 3 = x^3.
- 3Some a constante: x^3 + C.
- 4A ida e volta devolve a função original, só que a constante não pode ser recuperada.
É o teorema fundamental do cálculo em miniatura: as duas operações se desfazem.
Exemplo 2
Questão
f(x) = x^2. Compare f'(2) com a integral definida de f'(x) de 1 a 3.
Resposta
f'(2) = 4, e a integral vale 8
Passos
- 1A derivada é f'(x) = 2x, então f'(2) = 4. Essa é a inclinação num único ponto.
- 2A integral definida de 2x de 1 a 3 usa a primitiva x^2.
- 3Calcule: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
- 4Esse 8 é a variação líquida de f entre x = 1 e x = 3, não uma inclinação.
- 5Então uma é taxa instantânea e a outra é variação total. Perguntas diferentes, números diferentes.
Exemplo 3
Questão
Água entra num tanque a 6t litros por minuto. Quanto entra nos primeiros 4 minutos, e o quão rápido a vazão está subindo?
Resposta
48 litros no total, com a vazão subindo 6 litros por minuto a cada minuto
Passos
- 1O total acumulado é uma integral: a primitiva de 6t é 3t^2.
- 2Calcule de 0 a 4: 3(16) - 0 = 48 litros.
- 3O quão rápido a própria vazão muda é uma derivada: a derivada de 6t é 6.
- 4Então a vazão aumenta 6 litros por minuto a cada minuto que passa.
- 5A mesma função, duas perguntas diferentes, duas operações diferentes.
Erros comuns
Integrar quando a questão pergunta o quão rápido algo está mudando.
Perguntas de taxa são perguntas de derivada. Procure quão rápido, por unidade ou inclinação no enunciado.
Derivar uma taxa para achar um total.
Totais se acumulam, então se integram. Derivar uma taxa mostra como a própria taxa está mudando.
Achar que as duas operações são assuntos sem relação.
São inversas. Conferir uma integral derivando usa exatamente essa relação.
Esperar que a ida e volta devolva a original exatamente.
Devolve a menos de uma constante, porque derivar apagou qualquer constante que houvesse.
Pratique
Resolva primeiro, depois abra a resposta. Travou no meio? Selecione o problema e peça ao Solvecoon o passo que está faltando.
1. Você recebe uma função de velocidade e pedem a distância percorrida. Qual operação?
Ver a resposta
Integrar. A distância acumula a velocidade ao longo do tempo.
2. Você recebe uma função de posição e pedem a rapidez em t = 5. Qual operação?
Ver a resposta
Derivar e depois substituir t = 5.
3. Derive 4x^3 e depois integre sua resposta.
Ver a resposta
A derivada é 12x^2, e integrar isso dá 4x^3 + C.
O que as pessoas perguntam
- Qual devo aprender primeiro?
- Derivadas, porque a integração costuma ser ensinada como o inverso delas, e toda integral pode ser conferida derivando.
- Integral é só uma primitiva?
- A integral indefinida é. A definida é um número, calculado a partir de uma primitiva avaliada nos dois limites.
- O que é o teorema fundamental do cálculo?
- A afirmação de que essas duas operações são inversas, o que permite calcular uma área achando uma primitiva em vez de somar retângulos.
- Posso derivar e integrar a mesma função?
- Pode, e fazer as duas coisas é um bom hábito. Derivar sua integral é o jeito mais rápido de conferi-la.
Está com um na sua frente?
Selecione o problema na página ou capture com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve junto com você.
Adicionar ao Chrome →Teste grátis — 5 resoluções por dia. Sem cartão.