O que é uma integral?
Onde a derivada pergunta o quão rápido algo está mudando, a integral pergunta o quanto já se acumulou. Geometricamente é a área sob a curva, e fisicamente é o total que uma taxa construiu.
Acúmulo, não só área
Fatie a região sob a curva em retângulos finos, some suas áreas e deixe as fatias ficarem cada vez mais estreitas. O limite dessa soma é a integral. A área é a figura, mas a ideia é acúmulo: se a curva é uma velocidade, a área é uma distância.
Indefinida x definida
- Uma integral indefinida não tem limites e produz uma família de funções, por isso termina em mais C.
- Uma integral definida tem limites e produz um único número.
- Numa integral definida, calcule a primitiva no limite superior e subtraia o valor no inferior.
Por que mais C
Derivar destrói constantes: x^2 + 7 e x^2 - 3 derivam ambas para 2x. Inverter o processo não recupera qual constante estava lá, então toda integral indefinida carrega uma constante desconhecida. Numa integral definida a constante se cancela na subtração, e por isso nunca aparece ali.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Questão
Ache a integral indefinida de 2x em relação a x.
Resposta
x^2 + C
Passos
- 1Pergunte qual função deriva para 2x.
- 2A regra da potência ao contrário: aumente o expoente em um e divida pelo novo expoente.
- 32x vira 2x^2 / 2 = x^2.
- 4Some a constante de integração: x^2 + C.
- 5Confira derivando: a derivada de x^2 + C é 2x.
Exemplo 2
Questão
Calcule a integral definida de 2x de 0 a 3.
Resposta
9
Passos
- 1Ache a primitiva primeiro: x^2.
- 2Calcule no limite superior: 3^2 = 9.
- 3Calcule no limite inferior: 0^2 = 0.
- 4Subtraia: 9 - 0 = 9.
- 5Nenhuma constante aparece, porque ela se cancelaria na subtração.
Geometricamente é a área de um triângulo de base 3 e altura 6, que também é 9. Os dois métodos concordam, como devem.
Exemplo 3
Questão
A velocidade de um carro é v(t) = 6t m/s. Que distância ele percorre nos primeiros 4 segundos?
Resposta
48 metros
Passos
- 1Distância é a velocidade acumulada, então integre v(t) de 0 a 4.
- 2A primitiva de 6t é 3t^2.
- 3No limite superior: 3(4)^2 = 48.
- 4No limite inferior: 3(0)^2 = 0.
- 5Subtraia: 48 - 0 = 48 metros.
Erros comuns
Deixar de fora o mais C numa integral indefinida.
Integrais indefinidas sempre carregam. É um ponto na maioria dos gabaritos.
Escrever mais C numa integral definida.
Ele se cancela na subtração, então nunca aparece numa resposta definida.
Subtrair os limites na ordem errada.
Superior menos inferior, sempre. Inverter troca o sinal da resposta.
Supor que uma integral definida é sempre a área física.
Abaixo do eixo a integral contribui negativamente. Para a área total, separe nos cruzamentos e use valores absolutos.
Pratique
Resolva primeiro, depois abra a resposta. Travou no meio? Selecione o problema e peça ao Solvecoon o passo que está faltando.
1. Integre 3x^2 em relação a x.
Ver a resposta
x^3 + C. Confira derivando.
2. Calcule a integral de 4x de 1 a 2.
Ver a resposta
6. A primitiva é 2x^2, então 8 - 2 = 6.
3. Integre (x + 1) em relação a x.
Ver a resposta
x^2/2 + x + C.
O que as pessoas perguntam
- Integral é só área?
- A área é a figura, o acúmulo é o significado. Integrar uma velocidade dá distância, e integrar uma vazão dá volume.
- Como confiro uma integral?
- Derive sua resposta. Se não voltar a função original, a integração está errada, e essa conferência leva segundos.
- Por que a constante não importa nas integrais definidas?
- Porque ela aparece nos dois limites e se cancela na subtração, então nunca afeta o número.
- Uma integral pode ser negativa?
- Pode, quando a curva está abaixo do eixo naquele intervalo. É comportamento correto, não erro.
Está com um na sua frente?
Selecione o problema na página ou capture com Cmd/Ctrl + Shift + S, e o Solvecoon resolve junto com você.
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