Что такое интеграл?
Если производная спрашивает, как быстро что-то меняется, то интеграл спрашивает, сколько накопилось. Геометрически это площадь под кривой, а физически — суммарная величина, которую построила некоторая скорость.
Накопление, а не только площадь
Разрежьте область под кривой на тонкие прямоугольники, сложите их площади и устремите ширину полосок к нулю. Предел этой суммы и есть интеграл. Площадь — это картинка, но смысл в накоплении: если кривая задаёт скорость, площадь даёт путь.
Неопределённый и определённый
- У неопределённого интеграла нет пределов, и он даёт семейство функций — поэтому в конце появляется плюс C.
- У определённого интеграла есть пределы, и он даёт одно число.
- Для определённого интеграла вычислите первообразную на верхнем пределе и вычтите её значение на нижнем.
Почему плюс C
Дифференцирование уничтожает константы: и x^2 + 7, и x^2 - 3 дают производную 2x. Обратный ход не может восстановить, какая именно константа там была, поэтому любой неопределённый интеграл несёт неизвестную постоянную. В определённом интеграле она сокращается при вычитании, и потому там её никогда не пишут.
Разобранные примеры
Пример 1
Вопрос
Найдите неопределённый интеграл от 2x по x.
Ответ
x^2 + C
Шаги
- 1Спросите себя, какая функция даёт производную 2x.
- 2Правило степени наоборот: увеличьте показатель на единицу и разделите на новый показатель.
- 32x превращается в 2x^2 / 2 = x^2.
- 4Прибавьте постоянную интегрирования: x^2 + C.
- 5Проверьте дифференцированием: производная x^2 + C равна 2x.
Пример 2
Вопрос
Вычислите определённый интеграл от 2x в пределах от 0 до 3.
Ответ
9
Шаги
- 1Сначала найдите первообразную: x^2.
- 2Вычислите на верхнем пределе: 3^2 = 9.
- 3Вычислите на нижнем пределе: 0^2 = 0.
- 4Вычтите: 9 - 0 = 9.
- 5Постоянная не появляется, потому что она сократилась бы при вычитании.
Геометрически это площадь треугольника с основанием 3 и высотой 6, которая тоже равна 9. Оба способа сходятся, как и должны.
Пример 3
Вопрос
Скорость автомобиля равна v(t) = 6t м/с. Какой путь он пройдёт за первые 4 секунды?
Ответ
48 метров
Шаги
- 1Путь — это накопленная скорость, поэтому интегрируем v(t) от 0 до 4.
- 2Первообразная от 6t равна 3t^2.
- 3На верхнем пределе: 3(4)^2 = 48.
- 4На нижнем пределе: 3(0)^2 = 0.
- 5Вычитаем: 48 - 0 = 48 метров.
Частые ошибки
Пропустить плюс C в неопределённом интеграле.
Неопределённые интегралы всегда его несут. В большинстве схем оценивания это отдельный балл.
Написать плюс C в определённом интеграле.
Она сокращается при вычитании, поэтому в определённом ответе не появляется никогда.
Вычесть пределы в неверном порядке.
Всегда верхний минус нижний. Перестановка меняет знак ответа.
Считать, что определённый интеграл — это всегда физическая площадь.
Ниже оси интеграл вносит отрицательный вклад. Для полной площади разбейте промежуток в точках пересечения и возьмите модули.
Потренируйтесь
Сначала решите сами, потом откройте ответ. Застряли на середине? Выделите задачу и спросите у Solvecoon недостающий шаг.
1. Проинтегрируйте 3x^2 по x.
Показать ответ
x^3 + C. Проверьте дифференцированием.
2. Вычислите интеграл от 4x в пределах от 1 до 2.
Показать ответ
6. Первообразная равна 2x^2, значит 8 - 2 = 6.
3. Проинтегрируйте (x + 1) по x.
Показать ответ
x^2/2 + x + C.
О чём спрашивают
- Интеграл — это только площадь?
- Площадь — это картинка, а смысл — накопление. Интеграл от скорости даёт путь, а интеграл от расхода — объём.
- Как проверить интеграл?
- Продифференцируйте свой ответ. Если исходная функция не вернулась, интегрирование неверно, а сама проверка занимает секунды.
- Почему постоянная не важна в определённых интегралах?
- Потому что она возникает на обоих пределах и сокращается при вычитании, а значит не может повлиять на число.
- Может ли интеграл быть отрицательным?
- Может, когда на этом промежутке кривая лежит ниже оси. Это верное поведение, а не ошибка.
Одна такая прямо перед вами?
Выделите задачу на странице или заснимите её через Cmd/Ctrl + Shift + S, и Solvecoon разберёт её вместе с вами.
Добавить в Chrome →Попробуйте бесплатно — 5 решений в день. Без карты.