O que é um integral?
Onde a derivada pergunta com que rapidez algo varia, o integral pergunta quanto se acumulou. Geometricamente é a área sob uma curva, e fisicamente é o total que uma taxa foi construindo.
Acumulação, não apenas área
Corte a região sob a curva em rectângulos finos, some as suas áreas e deixe as fatias estreitarem-se. O limite dessa soma é o integral. A área é a imagem, mas a ideia é a acumulação: se a curva for uma velocidade, a área é uma distância.
Indefinido ou definido
- Um integral indefinido não tem limites e produz uma família de funções, e é por isso que termina em mais C.
- Um integral definido tem limites e produz um único número.
- Num integral definido, calcule a primitiva no limite superior e subtraia o seu valor no inferior.
Porquê o mais C
Derivar destrói as constantes: x^2 + 7 e x^2 - 3 derivam ambas para 2x. Inverter o processo não recupera qual era a constante, portanto todo o integral indefinido traz consigo uma constante desconhecida. Num integral definido a constante anula-se na subtracção, e é por isso que aí nunca se escreve.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Pergunta
Determine o integral indefinido de 2x em ordem a x.
Resposta
x^2 + C
Passos
- 1Pergunte que função deriva para 2x.
- 2A regra da potência ao contrário: aumente o expoente em uma unidade e divida pelo novo expoente.
- 32x passa a 2x^2 / 2 = x^2.
- 4Some a constante de integração: x^2 + C.
- 5Verifique derivando: a derivada de x^2 + C é 2x.
Exemplo 2
Pergunta
Calcule o integral definido de 2x entre 0 e 3.
Resposta
9
Passos
- 1Determine primeiro a primitiva: x^2.
- 2Calcule no limite superior: 3^2 = 9.
- 3Calcule no limite inferior: 0^2 = 0.
- 4Subtraia: 9 - 0 = 9.
- 5Não aparece nenhuma constante, porque se anularia na subtracção.
Geometricamente é a área de um triângulo de base 3 e altura 6, que também é 9. Os dois métodos concordam, como têm de concordar.
Exemplo 3
Pergunta
A velocidade de um carro é v(t) = 6t m/s. Que distância percorre nos primeiros 4 segundos?
Resposta
48 metros
Passos
- 1A distância é a velocidade acumulada, logo integre v(t) entre 0 e 4.
- 2A primitiva de 6t é 3t^2.
- 3No limite superior: 3(4)^2 = 48.
- 4No limite inferior: 3(0)^2 = 0.
- 5Subtraia: 48 - 0 = 48 metros.
Erros comuns
Omitir o mais C num integral indefinido.
Os integrais indefinidos trazem-no sempre. É uma cotação na maioria dos critérios de correcção.
Escrever mais C num integral definido.
Anula-se na subtracção, portanto nunca aparece numa resposta definida.
Subtrair os limites pela ordem errada.
Superior menos inferior, sempre. Trocá-los inverte o sinal da resposta.
Assumir que um integral definido é sempre a área física.
Abaixo do eixo o integral contribui negativamente. Para a área total, separe nos pontos de intersecção e use valores absolutos.
Pratica
Resolve-os primeiro e só depois abres a resposta. Empancaste a meio? Seleciona o problema e pede ao Solvecoon o passo que te falta.
1. Integre 3x^2 em ordem a x.
Ver a resposta
x^3 + C. Verifique derivando.
2. Calcule o integral de 4x entre 1 e 2.
Ver a resposta
6. A primitiva é 2x^2, logo 8 - 2 = 6.
3. Integre (x + 1) em ordem a x.
Ver a resposta
x^2/2 + x + C.
O que as pessoas perguntam
- Um integral é apenas área?
- A área é a imagem, a acumulação é o significado. Integrar uma velocidade dá distância, e integrar um caudal dá volume.
- Como verifico um integral?
- Derive a sua resposta. Se não voltar a função inicial, a integração está errada, e esta verificação demora segundos.
- Porque é que a constante não interessa nos integrais definidos?
- Porque aparece em ambos os limites e anula-se na subtracção, logo nunca pode afectar o número.
- Um integral pode ser negativo?
- Pode, quando a curva está abaixo do eixo nesse intervalo. É um comportamento correcto, não um erro.
Tens um à tua frente?
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