Solvecoon

İntegral nedir?

Türev bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğini sorarken integral ne kadar biriktiğini sorar. Geometrik olarak bu, eğri altındaki alandır; fiziksel olarak ise bir hızın oluşturduğu toplamdır.

Yalnızca alan değil, birikim

Eğri altındaki bölgeyi ince dikdörtgenlere bölün, alanlarını toplayın ve dilimleri gitgide inceltin. Bu toplamın limiti integraldir. Alan resimdir ama fikir birikimdir: eğri bir hızı gösteriyorsa alan bir yol verir.

Belirsiz ve belirli

  • Belirsiz integralin sınırı yoktur ve bir fonksiyon ailesi verir; sonunda artı C bulunmasının nedeni budur.
  • Belirli integralin sınırları vardır ve tek bir sayı verir.
  • Belirli integralde ters türevi üst sınırda hesaplayın ve alt sınırdaki değerini çıkarın.

Neden artı C

Türev almak sabitleri yok eder: x^2 + 7 de x^2 - 3 de türev alınca 2x verir. Süreci tersine çevirmek hangi sabitin orada olduğunu geri getiremez, bu yüzden her belirsiz integral bilinmeyen bir sabit taşır. Belirli integralde bu sabit çıkarma sırasında sadeleşir, bu yüzden orada hiç yazılmaz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Soru

2x ifadesinin x'e göre belirsiz integralini bulun.

Cevap

x^2 + C

Adımlar

  1. 1Hangi fonksiyonun türevinin 2x olduğunu sorun.
  2. 2Kuvvet kuralı tersten: üssü bir artırın ve yeni üsse bölün.
  3. 32x, 2x^2 / 2 = x^2 olur.
  4. 4İntegral sabitini ekleyin: x^2 + C.
  5. 5Türev alarak kontrol edin: x^2 + C ifadesinin türevi 2x'tir.

Örnek 2

Soru

2x ifadesinin 0'dan 3'e belirli integralini hesaplayın.

Cevap

9

Adımlar

  1. 1Önce ters türevi bulun: x^2.
  2. 2Üst sınırda hesaplayın: 3^2 = 9.
  3. 3Alt sınırda hesaplayın: 0^2 = 0.
  4. 4Çıkarın: 9 - 0 = 9.
  5. 5Sabit görünmez, çünkü çıkarma sırasında sadeleşirdi.

Geometrik olarak bu, tabanı 3 ve yüksekliği 6 olan bir üçgenin alanıdır ve o da 9'dur. İki yöntem, olması gerektiği gibi, uyuşur.

Örnek 3

Soru

Bir arabanın hızı v(t) = 6t m/s. İlk 4 saniyede ne kadar yol alır?

Cevap

48 metre

Adımlar

  1. 1Yol, birikmiş hızdır; o hâlde v(t) fonksiyonunu 0'dan 4'e integre edin.
  2. 26t ifadesinin ters türevi 3t^2'dir.
  3. 3Üst sınırda: 3(4)^2 = 48.
  4. 4Alt sınırda: 3(0)^2 = 0.
  5. 5Çıkarın: 48 - 0 = 48 metre.

Sık yapılan hatalar

Belirsiz integralde artı C'yi yazmamak.

Belirsiz integraller onu her zaman taşır. Çoğu puanlama anahtarında bu bir puandır.

Belirli integrale artı C yazmak.

Çıkarma sırasında sadeleşir, bu yüzden belirli bir cevapta asla görünmez.

Sınırları yanlış sırada çıkarmak.

Her zaman üst eksi alt. Ters çevirmek cevabın işaretini değiştirir.

Belirli integralin her zaman fiziksel alan olduğunu sanmak.

Eksenin altında integral negatif katkı verir. Toplam alan için kesişim noktalarından bölün ve mutlak değer alın.

Alıştırma yap

Önce kendin çöz, sonra cevabı aç. Yarısında mı takıldın? Soruyu seç ve eksik adımı Solvecoon'a sor.

  • 1. 3x^2 ifadesini x'e göre integre edin.

    Cevabı göster

    x^3 + C. Türev alarak kontrol edin.

  • 2. 4x ifadesinin 1'den 2'ye integralini hesaplayın.

    Cevabı göster

    6. Ters türev 2x^2, yani 8 - 2 = 6.

  • 3. (x + 1) ifadesini x'e göre integre edin.

    Cevabı göster

    x^2/2 + x + C.

İnsanların sorduğu şeyler

İntegral yalnızca alan mıdır?
Alan resimdir, anlam ise birikimdir. Hızı integre etmek yol verir, debiyi integre etmek hacim verir.
Bir integrali nasıl kontrol ederim?
Cevabınızın türevini alın. İlk fonksiyona dönmüyorsanız integral yanlıştır ve bu kontrol saniyeler sürer.
Belirli integralde sabit neden önemsiz?
Çünkü her iki sınırda da ortaya çıkar ve çıkarma sırasında sadeleşir; bu yüzden sonucu asla etkileyemez.
İntegral negatif olabilir mi?
Olabilir; o aralıkta eğri eksenin altındaysa. Bu bir hata değil, doğru davranıştır.
Solvecoon'un rakun maskotu

Şu anda önünde bir tane mi var?

Sayfadaki soruyu seç ya da Cmd/Ctrl + Shift + S ile yakala; Solvecoon seninle birlikte adım adım gitsin.

Chrome'a ekle →

Ücretsiz dene — günde 5 çözüm. Kart gerekmez.