Solvecoon

Türev ve integral

Aynı ilişki üzerinde zıt işlemlerdir. Türev bir toplamı alır ve hızı verir; integral bir hızı alır ve toplamı verir. Aralarındaki hemen her karışıklık aslında size hangisinin verildiği sorusudur.

Kısa hâli

  • Türev: bir andaki değişim hızı. Girdi bir fonksiyon, çıktı onun eğim fonksiyonu.
  • İntegral: bir aralıkta biriken toplam. Girdi bir hız, çıktı birikmiş miktar.
  • Önce türev alıp sonra integre etmek, bir sabit farkıyla başladığınız yere döndürür.

Fiziksel resim

Konumun türevi hız, hızın türevi ivmedir. Diğer yönde ivmenin integrali hız, hızın integrali konumdur. Aynı üç büyüklük, zıt yönde okunuyor.

Soru hangisini istiyor?

  • Ne kadar hızlı, hangi oranda, eğim ya da marjinal: türev.
  • Toplam, altındaki alan, birikmiş ya da net değişim: integral.
  • Maksimum ya da minimum: türev, çünkü eğimin sıfır olduğu yerlerdir.
  • Bir hız verilip miktar isteniyorsa: integral.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Soru

x^3 ifadesinin türevini alın, sonra sonucu integre edin. Ne geri gelir?

Cevap

x^3 + C, yani bir sabit farkıyla ilk fonksiyon

Adımlar

  1. 1Kuvvet kuralıyla x^3 türevini alın: 3x^2.
  2. 2Şimdi 3x^2 ifadesini integre edin: üssü artırıp bölün, 3x^3 / 3 = x^3 çıkar.
  3. 3Sabiti ekleyin: x^3 + C.
  4. 4Gidiş dönüş ilk fonksiyonu geri verir, yalnızca sabit geri getirilemez.

Bu, analizin temel teoreminin küçük bir örneğidir: iki işlem birbirini bozar.

Örnek 2

Soru

f(x) = x^2 olsun. f'(2) ile f'(x) ifadesinin 1'den 3'e belirli integralini karşılaştırın.

Cevap

f'(2) = 4 ve integral 8

Adımlar

  1. 1Türev f'(x) = 2x, yani f'(2) = 4. Bu, tek bir noktadaki eğimdir.
  2. 22x ifadesinin 1'den 3'e belirli integrali x^2 ters türevini kullanır.
  3. 3Hesaplayın: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
  4. 4Bu 8, f fonksiyonunun x = 1 ile x = 3 arasındaki net değişimidir, eğim değil.
  5. 5Yani biri anlık hız, öteki toplam değişim. Farklı sorular, farklı sayılar.

Örnek 3

Soru

Bir depoya dakikada 6t litre su giriyor. İlk 4 dakikada ne kadar girer ve debinin kendisi ne kadar hızlı artar?

Cevap

Toplam 48 litre; debi her dakika 6 litre bölü dakika artıyor

Adımlar

  1. 1Birikmiş toplam bir integraldir: 6t ifadesinin ters türevi 3t^2.
  2. 20'dan 4'e hesaplayın: 3(16) - 0 = 48 litre.
  3. 3Debinin kendisinin ne kadar hızlı değiştiği bir türevdir: 6t ifadesinin türevi 6'dır.
  4. 4Yani geçen her dakika için debi dakikada 6 litre artar.
  5. 5Aynı fonksiyon, iki farklı soru, iki farklı işlem.

Sık yapılan hatalar

Soru bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğini sorarken integral almak.

Hız soruları türev sorularıdır. Metinde ne kadar hızlı, birim başına ya da eğim ifadelerini arayın.

Toplam bulmak için bir hızın türevini almak.

Toplamlar birikir, yani integre edilir. Bir hızın türevi, hızın kendisinin nasıl değiştiğini verir.

İki işlemin birbiriyle ilgisiz konular olduğunu düşünmek.

Birbirinin tersidir. İntegrali türev alarak kontrol etmek tam da bu ilişkiyi kullanır.

Gidiş dönüşün ilk fonksiyonu birebir geri vermesini beklemek.

Bir sabit farkıyla geri verir, çünkü türev almak orada bulunan her sabiti silmiştir.

Alıştırma yap

Önce kendin çöz, sonra cevabı aç. Yarısında mı takıldın? Soruyu seç ve eksik adımı Solvecoon'a sor.

  • 1. Size bir hız fonksiyonu verilip alınan yol soruluyor. Hangi işlem?

    Cevabı göster

    İntegral almak. Yol, zaman içinde hızı biriktirir.

  • 2. Size bir konum fonksiyonu verilip t = 5 anındaki sürat soruluyor. Hangi işlem?

    Cevabı göster

    Türev alıp sonra t = 5 yerine koymak.

  • 3. 4x^3 ifadesinin türevini alın, sonra cevabınızı integre edin.

    Cevabı göster

    Türev 12x^2 ve onu integre etmek 4x^3 + C verir.

İnsanların sorduğu şeyler

Hangisini önce öğrenmeliyim?
Türevleri, çünkü integral genellikle onların tersi olarak öğretilir ve her integral türev alınarak kontrol edilebilir.
İntegral sadece bir ters türev midir?
Belirsiz integral öyledir. Belirli integral bir sayıdır; bir ters türevin iki sınırda hesaplanmasıyla bulunur.
Analizin temel teoremi nedir?
Bu iki işlemin birbirinin tersi olduğunu söyleyen ifadedir; dikdörtgen toplamak yerine ters türev bularak alan hesaplamayı bu sağlar.
Aynı fonksiyonun hem türevini hem integralini alabilir miyim?
Alabilirsiniz ve ikisini birden yapmak iyi bir alışkanlıktır. İntegralinizin türevini almak, onu kontrol etmenin en hızlı yoludur.
Solvecoon'un rakun maskotu

Şu anda önünde bir tane mi var?

Sayfadaki soruyu seç ya da Cmd/Ctrl + Shift + S ile yakala; Solvecoon seninle birlikte adım adım gitsin.

Chrome'a ekle →

Ücretsiz dene — günde 5 çözüm. Kart gerekmez.