Derivata o integrale
Sono operazioni opposte sulla stessa relazione. Una derivata prende un totale e ti dà la velocità; un integrale prende una velocità e ti dà il totale. Quasi ogni confusione tra le due è in realtà una domanda su quale delle due ti hanno dato.
La versione breve
- Derivata: velocità di variazione in un istante. In ingresso una funzione, in uscita la sua funzione pendenza.
- Integrale: totale accumulato su un intervallo. In ingresso una velocità, in uscita la quantità accumulata.
- Derivare e poi integrare ti riporta al punto di partenza, a meno di una costante.
L'immagine fisica
La posizione si deriva in velocità, e la velocità si deriva in accelerazione. Nell'altro verso l'accelerazione si integra in velocità, e la velocità si integra in posizione. Le stesse tre grandezze, lette in direzioni opposte.
Cosa chiede la domanda?
- Quanto velocemente, a che ritmo, pendenza o marginale: derivata.
- Totale, area sotto, accumulato o variazione netta: integrale.
- Massimo o minimo: derivata, perché è lì che la pendenza si annulla.
- Data una velocità, trovare la quantità: integrale.
Esempi svolti
Esempio 1
Domanda
Deriva x^3, poi integra il risultato. Cosa torna?
Risposta
x^3 + C, la funzione di partenza a meno di una costante
Passaggi
- 1Deriva x^3 con la regola della potenza: 3x^2.
- 2Ora integra 3x^2: aumenta l'esponente e dividi, ottenendo 3x^3 / 3 = x^3.
- 3Aggiungi la costante: x^3 + C.
- 4Il giro di andata e ritorno restituisce la funzione di partenza, salvo che la costante non si può recuperare.
È il teorema fondamentale del calcolo in miniatura: le due operazioni si annullano a vicenda.
Esempio 2
Domanda
f(x) = x^2. Confronta f'(2) con l'integrale definito di f'(x) da 1 a 3.
Risposta
f'(2) = 4, e l'integrale vale 8
Passaggi
- 1La derivata è f'(x) = 2x, quindi f'(2) = 4. È la pendenza in un singolo punto.
- 2L'integrale definito di 2x da 1 a 3 usa la primitiva x^2.
- 3Valuta: 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
- 4Quell'8 è la variazione netta di f tra x = 1 e x = 3, non una pendenza.
- 5Quindi una è una velocità istantanea e l'altro una variazione totale. Domande diverse, numeri diversi.
Esempio 3
Domanda
L'acqua entra in un serbatoio a 6t litri al minuto. Quanta ne entra nei primi 4 minuti, e quanto velocemente sta salendo la portata?
Risposta
48 litri in totale, con la portata che sale di 6 litri al minuto ogni minuto
Passaggi
- 1Il totale accumulato è un integrale: la primitiva di 6t è 3t^2.
- 2Valuta da 0 a 4: 3(16) - 0 = 48 litri.
- 3Quanto velocemente cambia la portata stessa è una derivata: la derivata di 6t è 6.
- 4Quindi la portata aumenta di 6 litri al minuto per ogni minuto che passa.
- 5La stessa funzione, due domande diverse, due operazioni diverse.
Errori comuni
Integrare quando la domanda chiede quanto velocemente qualcosa cambia.
Le domande sulla velocità sono domande di derivata. Cerca quanto velocemente, per unità o pendenza nel testo.
Derivare una velocità per trovare un totale.
I totali si accumulano, quindi si integrano. Derivare una velocità ti dice come cambia la velocità stessa.
Pensare che le due operazioni siano argomenti scollegati.
Sono inverse. Verificare un integrale derivando usa esattamente questa relazione.
Aspettarsi che il giro di andata e ritorno restituisca esattamente la funzione di partenza.
La restituisce a meno di una costante, perché derivare ha cancellato qualsiasi costante ci fosse.
Mettiti alla prova
Risolvili prima tu, poi apri la risposta. Bloccato a metà? Seleziona il problema e chiedi a Solvecoon il passaggio che ti manca.
1. Ti danno una funzione velocità e ti chiedono la distanza percorsa. Quale operazione?
Mostra la risposta
Integrare. La distanza accumula la velocità nel tempo.
2. Ti danno una funzione posizione e ti chiedono la velocità a t = 5. Quale operazione?
Mostra la risposta
Derivare, poi sostituire t = 5.
3. Deriva 4x^3, poi integra la tua risposta.
Mostra la risposta
La derivata è 12x^2, e integrandola si ottiene 4x^3 + C.
Le domande che ci fanno
- Quale dovrei imparare per prima?
- Le derivate, perché l'integrazione si insegna di solito come loro inversa, e ogni integrale si verifica derivando.
- Un integrale è solo una primitiva?
- Un integrale indefinito sì. Un integrale definito è un numero, calcolato da una primitiva valutandola nei due estremi.
- Che cos'è il teorema fondamentale del calcolo?
- L'enunciato secondo cui queste due operazioni sono inverse, ed è ciò che permette di calcolare un'area trovando una primitiva invece di sommare rettangoli.
- Posso derivare e integrare la stessa funzione?
- Sì, e farle entrambe è una buona abitudine. Derivare il tuo integrale è il modo più rapido di verificarlo.
Continua a leggere
Ne hai uno davanti?
Seleziona il problema sulla pagina o catturalo con Cmd/Ctrl + Maiusc + S, e Solvecoon lo svolge con te.
Aggiungi a Chrome →Prova gratis — 5 risoluzioni al giorno. Nessuna carta.