Che cos'è una derivata?
Una derivata misura quanto velocemente qualcosa cambia in un singolo istante, invece che in media su un intervallo. Graficamente è la pendenza della retta tangente in un punto della curva.
Dalla media all'istante
La pendenza tra due punti di una curva è una velocità di variazione media: incremento verticale su incremento orizzontale. Fai scorrere il secondo punto sempre più vicino al primo e quella media si avvicina a un unico numero. Quel limite è la derivata, e descrive la curva in esattamente un punto.
Notazione
- f'(x) si legge f primo di x: la derivata della funzione f.
- dy/dx è la derivata di y rispetto a x. È un simbolo unico, non una frazione.
- Significano la stessa cosa; corsi diversi preferiscono notazioni diverse.
La regola della potenza
Per f(x) = x^n, la derivata è f'(x) = n x^(n-1). Porta giù l'esponente come moltiplicatore e riducilo di uno. Quasi tutte le derivate che incontri all'inizio sono questa regola più un moltiplicatore costante.
Esempi svolti
Esempio 1
Domanda
Trova la derivata di f(x) = x^2 e valutala in x = 3.
Risposta
f'(x) = 2x, quindi f'(3) = 6
Passaggi
- 1Applica la regola della potenza con n = 2: porta giù il 2 e riduci l'esponente a 1.
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x.
- 3Sostituisci x = 3: f'(3) = 6.
- 4Significato: nel punto (3, 9) la curva sale di 6 unità di altezza per ogni unità in orizzontale.
La derivata è una funzione, non un numero. Dà una pendenza diversa per ogni x, e ottieni un numero solo sostituendone una.
Esempio 2
Domanda
Trova la derivata di f(x) = 3x^4.
Risposta
f'(x) = 12x^3
Passaggi
- 1Il moltiplicatore costante 3 resta e moltiplica il risultato.
- 2Applica la regola della potenza a x^4: diventa 4x^3.
- 3Moltiplica per il 3 davanti: 3 x 4x^3 = 12x^3.
Esempio 3
Domanda
La posizione di un oggetto è s(t) = 5t^2 metri dopo t secondi. Trova la sua velocità a t = 2.
Risposta
20 m/s
Passaggi
- 1La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo.
- 2Deriva: s'(t) = 5 x 2t = 10t.
- 3Sostituisci t = 2: s'(2) = 20.
- 4Le unità vengono da quella di partenza: metri al secondo.
È per questo che le derivate contano in fisica. La posizione si deriva in velocità, e la velocità si deriva di nuovo in accelerazione.
Errori comuni
Trattare la derivata come un numero invece che come una funzione.
f'(x) è una funzione. f'(3) è un numero. Le domande chiedono l'una o l'altro, quindi leggi con attenzione.
Derivare una costante e ottenere la costante.
La derivata di qualsiasi costante è zero, perché una costante non cambia mai.
Ridurre l'esponente ma dimenticare di portarlo giù come moltiplicatore.
Succedono entrambe le cose. x^5 diventa 5x^4, non x^4.
Usare la regola della potenza su qualcosa come e^(2x).
La regola della potenza vale per una variabile elevata a una potenza costante. Esponenziali e funzioni composte hanno regole proprie.
Mettiti alla prova
Risolvili prima tu, poi apri la risposta. Bloccato a metà? Seleziona il problema e chiedi a Solvecoon il passaggio che ti manca.
1. Deriva f(x) = x^5.
Mostra la risposta
f'(x) = 5x^4.
2. Deriva f(x) = 7x.
Mostra la risposta
f'(x) = 7. Una retta ha pendenza costante.
3. Deriva f(x) = x^2 + 3x e valuta in x = 1.
Mostra la risposta
f'(x) = 2x + 3, quindi f'(1) = 5.
Le domande che ci fanno
- Cosa significa la derivata in parole semplici?
- Quanto velocemente cambia l'uscita quando cambia l'ingresso, proprio in quel momento. La velocità è la derivata della distanza, ed è l'esempio quotidiano più chiaro.
- Perché servono i limiti per definirla?
- Perché la pendenza richiede due punti e noi vogliamo la pendenza in uno solo. Il limite è il meccanismo che dà senso a una pendenza in un punto.
- Cosa significa una derivata negativa?
- Che la funzione è decrescente in quel punto. Più il valore negativo è grande, più rapidamente sta scendendo.
- E se la derivata è zero?
- La curva è momentaneamente piatta: un massimo, un minimo o un punto di flesso. Trovare quei punti è la base dei problemi di ottimizzazione.
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