Was ist eine Ableitung?
Eine Ableitung misst, wie schnell sich etwas in einem einzelnen Augenblick ändert, statt im Mittel über ein Intervall. Grafisch ist sie die Steigung der Tangente in einem Punkt der Kurve.
Vom Mittelwert zum Momentanwert
Die Steigung zwischen zwei Punkten einer Kurve ist eine mittlere Änderungsrate: Höhenunterschied durch Breite. Schieb den zweiten Punkt immer näher an den ersten, und dieser Mittelwert nähert sich einer einzigen Zahl. Dieser Grenzwert ist die Ableitung, und sie beschreibt die Kurve in genau einem Punkt.
Schreibweisen
- f'(x) liest man f Strich von x: die Ableitung der Funktion f.
- dy/dx ist die Ableitung von y nach x. Es ist ein einzelnes Symbol, kein Bruch.
- Beides meint dasselbe; verschiedene Kurse bevorzugen verschiedene Schreibweisen.
Die Potenzregel
Für f(x) = x^n ist die Ableitung f'(x) = n x^(n-1). Zieh den Exponenten als Faktor herunter und verringere den Exponenten um eins. Fast jede Ableitung, die dir am Anfang begegnet, ist diese Regel plus ein konstanter Faktor.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Frage
Bestimme die Ableitung von f(x) = x^2 und werte sie bei x = 3 aus.
Antwort
f'(x) = 2x, also f'(3) = 6
Schritte
- 1Potenzregel mit n = 2 anwenden: die 2 herunterziehen und den Exponenten auf 1 verringern.
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x.
- 3x = 3 einsetzen: f'(3) = 6.
- 4Bedeutung: im Punkt (3, 9) steigt die Kurve um 6 Höheneinheiten pro Einheit nach rechts.
Die Ableitung ist eine Funktion, keine Zahl. Sie liefert in jedem x eine andere Steigung, und eine Zahl bekommst du erst durch Einsetzen.
Beispiel 2
Frage
Bestimme die Ableitung von f(x) = 3x^4.
Antwort
f'(x) = 12x^3
Schritte
- 1Der konstante Faktor 3 bleibt stehen und multipliziert das Ergebnis.
- 2Potenzregel auf x^4 anwenden: es wird 4x^3.
- 3Mit der 3 davor multiplizieren: 3 x 4x^3 = 12x^3.
Beispiel 3
Frage
Die Position eines Körpers ist s(t) = 5t^2 Meter nach t Sekunden. Bestimme seine Geschwindigkeit bei t = 2.
Antwort
20 m/s
Schritte
- 1Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position nach der Zeit.
- 2Ableiten: s'(t) = 5 x 2t = 10t.
- 3t = 2 einsetzen: s'(2) = 20.
- 4Die Einheiten kommen aus dem Original: Meter pro Sekunde.
Deshalb zählen Ableitungen in der Physik. Position abgeleitet ergibt Geschwindigkeit, und Geschwindigkeit noch einmal abgeleitet ergibt Beschleunigung.
Typische Fehler
Die Ableitung als Zahl statt als Funktion behandeln.
f'(x) ist eine Funktion. f'(3) ist eine Zahl. Aufgaben fragen nach dem einen oder dem anderen, also lies genau.
Eine Konstante ableiten und die Konstante zurückbekommen.
Die Ableitung jeder Konstante ist null, weil eine Konstante sich nie ändert.
Den Exponenten verringern, aber vergessen, ihn als Faktor herunterzuziehen.
Beides passiert. Aus x^5 wird 5x^4, nicht x^4.
Die Potenzregel auf etwas wie e^(2x) anwenden.
Die Potenzregel gilt für eine Variable mit konstantem Exponenten. Exponentialfunktionen und Verkettungen brauchen eigene Regeln.
Selbst üben
Rechne die erst selbst durch, dann klapp die Antwort auf. Auf halber Strecke hängen geblieben? Markier die Aufgabe und frag Solvecoon nach dem fehlenden Schritt.
1. Leite ab: f(x) = x^5.
Antwort zeigen
f'(x) = 5x^4.
2. Leite ab: f(x) = 7x.
Antwort zeigen
f'(x) = 7. Eine Gerade hat eine konstante Steigung.
3. Leite f(x) = x^2 + 3x ab und werte bei x = 1 aus.
Antwort zeigen
f'(x) = 2x + 3, also f'(1) = 5.
Was oft gefragt wird
- Was bedeutet die Ableitung in einfachen Worten?
- Wie schnell sich der Ausgabewert ändert, wenn sich der Eingabewert ändert, genau in diesem Moment. Geschwindigkeit ist die Ableitung der Strecke, und das ist das klarste Alltagsbeispiel.
- Warum brauchen wir Grenzwerte zur Definition?
- Weil eine Steigung zwei Punkte braucht, wir aber die Steigung in einem wollen. Der Grenzwert ist die Maschinerie, die eine Steigung in einem Punkt sinnvoll macht.
- Was bedeutet eine negative Ableitung?
- Die Funktion fällt an dieser Stelle. Je stärker negativ der Wert, desto schneller fällt sie.
- Was, wenn die Ableitung null ist?
- Die Kurve ist dort momentan waagerecht: ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Wendepunkt. Solche Stellen zu finden ist die Grundlage aller Optimierungsaufgaben.
Hast du gerade eine vor dir?
Markier die Aufgabe auf der Seite oder schnapp sie mit Cmd/Strg + Umschalt + S, und Solvecoon geht sie mit dir durch.
Zu Chrome hinzufügen →Kostenlos testen — 5 Lösungen pro Tag. Keine Kreditkarte.