Czym jest pochodna?
Pochodna mierzy, jak szybko coś się zmienia w jednej chwili, a nie średnio na przedziale. Na wykresie jest to nachylenie stycznej w jednym punkcie krzywej.
Od średniej do chwilowej
Nachylenie między dwoma punktami krzywej to średnia szybkość zmian: przyrost w pionie na przyrost w poziomie. Przesuwaj drugi punkt coraz bliżej pierwszego, a ta średnia będzie dążyć do jednej liczby. Ta granica to pochodna i opisuje krzywą dokładnie w jednym punkcie.
Oznaczenia
- f'(x) czytamy f prim od x: pochodna funkcji f.
- dy/dx to pochodna y względem x. To jeden symbol, a nie ułamek.
- Oba znaczą to samo; różne programy wolą różne zapisy.
Reguła potęgowa
Dla f(x) = x^n pochodna wynosi f'(x) = n x^(n-1). Sprowadź wykładnik na dół jako mnożnik i zmniejsz go o jeden. Niemal każda pochodna spotykana na początku to ta reguła plus stały mnożnik.
Rozpisane przykłady
Przykład 1
Pytanie
Znajdź pochodną f(x) = x^2 i oblicz jej wartość w x = 3.
Odpowiedź
f'(x) = 2x, więc f'(3) = 6
Kroki
- 1Zastosuj regułę potęgową dla n = 2: sprowadź 2 na dół i zmniejsz wykładnik do 1.
- 2f'(x) = 2x^1 = 2x.
- 3Podstaw x = 3: f'(3) = 6.
- 4Znaczenie: w punkcie (3, 9) krzywa wznosi się o 6 jednostek wysokości na jednostkę w poziomie.
Pochodna jest funkcją, a nie liczbą. Daje inne nachylenie dla każdego x, a liczbę otrzymujesz dopiero po podstawieniu jednego z nich.
Przykład 2
Pytanie
Znajdź pochodną f(x) = 3x^4.
Odpowiedź
f'(x) = 12x^3
Kroki
- 1Stały mnożnik 3 zostaje i mnoży wynik.
- 2Zastosuj regułę potęgową do x^4: staje się 4x^3.
- 3Pomnóż przez 3 z przodu: 3 x 4x^3 = 12x^3.
Przykład 3
Pytanie
Położenie obiektu to s(t) = 5t^2 metrów po t sekundach. Znajdź jego prędkość w t = 2.
Odpowiedź
20 m/s
Kroki
- 1Prędkość to pochodna położenia względem czasu.
- 2Zróżniczkuj: s'(t) = 5 x 2t = 10t.
- 3Podstaw t = 2: s'(2) = 20.
- 4Jednostki biorą się z funkcji wyjściowej: metry na sekundę.
Dlatego pochodne są ważne w fizyce. Położenie różniczkuje się do prędkości, a prędkość różniczkuje się dalej do przyspieszenia.
Częste błędy
Traktowanie pochodnej jak liczby zamiast jak funkcji.
f'(x) to funkcja. f'(3) to liczba. Zadania proszą o jedno albo o drugie, więc czytaj uważnie.
Zróżniczkowanie stałej i otrzymanie tej samej stałej.
Pochodna dowolnej stałej wynosi zero, bo stała nigdy się nie zmienia.
Zmniejszenie wykładnika przy zapomnieniu o sprowadzeniu go na dół jako mnożnika.
Dzieje się jedno i drugie. x^5 staje się 5x^4, a nie x^4.
Użycie reguły potęgowej do czegoś w rodzaju e^(2x).
Reguła potęgowa dotyczy zmiennej podniesionej do stałej potęgi. Funkcje wykładnicze i złożone mają własne reguły.
Poćwicz
Najpierw rozwiąż je sam, potem otwórz odpowiedź. Utknąłeś w połowie? Zaznacz zadanie i poproś Solvecoon o brakujący krok.
1. Zróżniczkuj f(x) = x^5.
Pokaż odpowiedź
f'(x) = 5x^4.
2. Zróżniczkuj f(x) = 7x.
Pokaż odpowiedź
f'(x) = 7. Prosta ma stałe nachylenie.
3. Zróżniczkuj f(x) = x^2 + 3x i oblicz wartość w x = 1.
Pokaż odpowiedź
f'(x) = 2x + 3, więc f'(1) = 5.
O co ludzie pytają
- Co pochodna znaczy po ludzku?
- Jak szybko zmienia się wynik, gdy zmienia się argument, dokładnie w tym momencie. Prędkość jest pochodną drogi i to najbardziej codzienny przykład.
- Dlaczego do jej definicji potrzebne są granice?
- Bo nachylenie wymaga dwóch punktów, a my chcemy nachylenia w jednym. Granica to mechanizm, który nadaje sens nachyleniu w punkcie.
- Co znaczy ujemna pochodna?
- Że funkcja maleje w tym punkcie. Im bardziej ujemna wartość, tym szybciej opada.
- A jeśli pochodna wynosi zero?
- Krzywa jest chwilowo płaska: to maksimum, minimum albo punkt przegięcia. Znajdowanie takich punktów jest podstawą zadań optymalizacyjnych.
Masz jedno przed sobą?
Zaznacz zadanie na stronie albo zrób zrzut przez Cmd/Ctrl + Shift + S, a Solvecoon przejdzie je z tobą.
Dodaj do Chrome →Wypróbuj za darmo — 5 rozwiązań dziennie. Bez karty.